3.3 Isomorphism and Homomorphism 1

현대대수는 프로그래밍의 뭐랑 연관이 깊을까. 연산자 오버로딩? 이건 너무 직접적인 관계인가 ㅋㅋㅋ 하여튼 오늘도 시작해보도록 하자.

Definition of Isomolphism

Isomolphism sketch

isomolphism은 굉장히 좋은 성질로 대수적으로 구분할 수 없다는 의미이기도 하다.
예를들어 Z3를 고려해보자. 여기에는 원소가 0,1,2 밖에 없다. 이 때 '0 1 2'라고 부르던 걸 '나 너 우리' 그냥 이렇게 이름만 바꿔보면 어떨까?
그렇다면 0 + 0 = 0 이듯 나 + 나 = 나. 1 + 1 = 2 이듯 너 + 너 = 우리. 2 + 0 = 2이듯 우리 + 나 = 우리가 될 것이다.

위와 같이 실제로는 같은 것을 의미하나 이름만 바꾼 것이 있을 수 있다. 그러한 0 1 2, 나 너 우리 처럼 실제로는 두 개가 이름만 바꾼 관계라는 것을 의미하는 것이 Isomolphism이다.
조금 더 자세히 하면 위와 같이 두 집합 사이가 이름만 바꾼 관계라면 두 사이에 무언가 일대일로 연결해주는 함수가 있을 것이라는건데 그 함수를 Isomolphism이라고 부른다.

Isomolphism은 두 집합이 실제로는 같으나 이름만 바뀐 것이라는 것을 보여주는 함수를 의미한다.

위의 예시에서 Isomolphism 'f'는 f(0) = 나, f(1) = 너, f(2) = 우리 인 함수이다!

Isomolphism의 formal한 definition

Homomorphism

Homomolphism은 위의 설명한 Isomolphism에서 일대일로 연결해주지는 않지만 연산은 보존되는 것을 의미한다.
Homomolphism이 더 큰 범위다!

Homomorphism의 성질

1. homomorphism은 0을 0으로 보낸다.
자세한 증명은 위를 참고하길 바람.
같이 생각해볼 점은 0R만 0S로 보낼 수 있을까?라는 점이다.(uniqueness)
만약 f:Z->Z3가 있다고 생각해보자.(f(x)=x) 그렇다면 0은 0으로 가겠지만 3도 0으로 가지 않겠는가? 즉, 0은 유일하지 않다. There exist no unique zero.

극단적으로 생각해봤는데 f:Z->{0} f(x) = 0도 homomolphsim이다. ㅋㅋㅋ

2. homomolphism에서 inverse도 보존된다!

3. substitution도 보존된다!

만약 R이 ring with identity이고 f가 surjective이기까지 한다면?

4. 1도 보존된다.

5. unit도 보존된다.

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끝