6.1(2),6.2 Quotient Rings and Homomorphism

서론

우리는 일반적인 합동관계에 대해 생각해보고 있습니다. 합동식의 일반화를 넘어서 Quotient Ring이란 어떤 것인지 알아봅시다.

Ideals and Congruence(2)

Congruence modulo I

우리는 예전에 $Z_n$을 정의했었습니다. $Z_n$은 n으로 나눈 나머지가 같은 수들의 집합을 원소로 갖는 집합이었는데 그 원소를 [n-1], 이런 식으로 표현했습니다. [n-1]이란 n으로 나눈 나머지가 n-1인 원소의 집합이라는 것입니다. 즉 [n-1]의 원소들은 n으로 나눈 나머지가 같았습니다.
예를 들어 $Z_3$에서 [2]의 원소는 2,5,8,-1,-4...가 있었습니다.

이번엔 이러한 관계를 확장시켜봅시다.

def of Congruence modulo I

R: ring, I: ideal of R, a,b∈R
Then (congruence class containing a) = {b∈R|b≡a (mod I)} = {b∈R|b-a = i∈I for some i∈I} = {a+i|i∈I} =: a+I

a의 congruence class는 본질적으로 위에서 말한 $Z_n$과 같습니다. a와 congruence인 모든 원소를 모아놓은 집합입니다. b-a = i∈I인 모든 원소들은 a+i의 형태로 표현됨이 타당합니다. 이 때 이 표기를 간단하게 a+I로 하자는 말입니다.

그리고 이 a+I를 coset of I라고 부르겠습니다.

또한 R/I는 coset들의 집합입니다. 또한 congruence class는 equivalent class이므로 R을 partition합니다.

위의 그림에서 바깥쪽 큰 사각형을 R, 내부의 $a_i$들을 congruence class라고 보시면 됩니다. 각각은 $a_1+I$,$a_2+I$,$a_3+I$,$a_4+I$,$a_5+I$를 나타냅니다.

하여튼 모든 set을 잘 분류할 수 있다는 말입니다.

Thm 6.6 a≡c(mod I) ⇔ a+I = c+I

너무 당연하고 간단해보이니 증명은 생략하겠습니다.

example

(1)

R = ℤ, I = (3)
a+I = c+I ⇒ a≡c (mod I) ⇒ a-c = I = (3) ⇒ a≡c (mod 3)

I = (3)으로 cogruence class를 나누면 3으로 나눈 나머지에 관한 congruence class입니다.

(2)

R = ℤ[x], I = {polynomials whose constant term is even} = (x,2)

여기서 R/I 는 {0+I,1+I}일겁니다.

확인해봅시다.

0+I 가 1+I와 같지 않으며 모든 f(x)+I∈R/I가 0+I에 속하거나 1+I에 속하면 됩니다.

1) 0+I와 1+I가 같지 않음.
1은 1+I에는 속하지만 0+I에는 속할 수 없군요. 그러므로 둘은 다르겠습니다. 1+I의 모든 원소는 1과 congruent하고 0+I의 원소들과는 incongruent합니다.

2) f(x)가 존재한다고 합시다. 그 constant term을 $a_0$이라고 하면
$a_0$은 even이거나 odd인데
even일 때는 0+I에 f(x)가 속하고
odd일 때는 f(x)가 1+I에 속하게 되니 R\I = {0+I,1+I}라 할 수 있겠습니다.

6.2 Quotient rings and homomorphism

def of + and *

R: ring, I : ideal of R, Let a+I,c+I∈R/I
Define + and on R/I by
(a+I) + (c+I) =(a+c) + I
(a+I) (c+I) = (a*c) + I

이렇게 정의하는건 타당합니다. 왜냐면 well-defined이기 때문이죠. well-defined라는 의미는 그 연산을 수행한 결과가 R\I에 잘 들어있다는 의미이기 때문이죠. 잘 들어있는지는 어떻게 아냐구요? 이는 Thm 6.5에서 증명했습니다.

Thm 6.9 commutative ring with identity

R: commutative ring with identity, I = ideal of R The following hold.
(1) R/I is a ring
(2) R is commutative ⇒ R/I is commutative
(3) R has an identity

pf)
(1) 생략
(2) Let a+I,b+I∈R/I
Then (a+I)(b+I) = ab+I = ba+I = (b+I)(a+I)
(3)
(1+I)(a+I) = (1a)+I = a+I
(a+I)(1+I) = (a1)+I = a+I

Then 1+I is identity.

새로운 관점

우리는 ideal의 원소가 어떤 집합에서 0이라고 생각해보면 어떨까요? 0이 그렇지 않은가? 앞에서 곱하든 뒤에서 곱하든 0이 됩니다. 0이 된다는건 다시 ideal에 속한다는 뜻입니다. 어 될 것 같은데? 이 생각을 확장시켜봅시다.

def of kernel

Let f:R→S be a ring homomorphism
The kernel of f is defined to be
ker f := {r∈R|f(r) = $0_s$}

여기서 핵심은 ring homomorphism인데 연산이 보존되어야 합니다.이후에 있을 theorem에서 연산이 보존 안되면 무용지물입니다.
f는 어떤 집합S로 가는 함수인데 ker f는 S에서 0이 되도록하는 R에서의 원소들의 집합입니다.

example

1

R = ℤ, S = $ℤ_n$. f : ℤ→$ℤ_n$. f(k) = k
ker f = {k∈ℤ|k=0 in $ℤ_n$} = (n)

n의 배수들은 모두 0으로 만듭니다. 이는 $ℤ_n$에서는 모두 0입니다.

2

R = ℝ[x], s = ℝ. f($a_nx^n+...+a_0$) = $a_0$
상수항으로 대응시키는 map입니다.

이 때 ker f = {$a_nx^n+...+a_0$|$a_0=0$} = (x)

상수항이 0이니까 x로 extention된 모든 (x)의 원소는 s에서 0입니다.

여기서 f가 ring homomorphism입니다.
만약 f($a_nx^n+...+a_0$) = $a_1$ 이었다면 ring homomorphism이 성립하지 않습니다.
(직접 곱해보면 압니다.)

Thm 6.10 kernel and ideal

Let f: R->S be a ring homomorphism
The kernel of f is an ideal in R

proof sketch)
1) check ker f is not empty
Since f($0_R$) = $0_s$, $0_R$∈ker f

homomorphism이기 때문에 0은 항상 보전합니다. 그러므로 empty는 아닙니다.

Thm6.1을 사용할건데 closure under subtraction과 R에서 하나 I에서 하나 꺼낸 것을 곱하면 I에 속한다는 것이 잘 성립하면 됩니다.

2) closure under subtraction
a,b를 뽑자. 둘 다 ker f에 들어있다고 가정합시다. 그러면
f(a),f(b) = 0이라는 의미입니다. 그러면 f(a)-f(b) = f(a-b)(∵f is homomorphism) = 0 - 0 = 0 ⇒a-b∈ker f
즉 a,b가 ker f에 들어있으면 a-b도 ker f에 들어갑니다.

3) ideal property(어떤 숫자에 0을 곱하면 0이된다는 것)
a가 ker f에 속하고 r이 R에속하면 ar,ra∈ker f임을 보이면 됩니다.
f(a) = 0

f(a)f(r) = f(ar) = 0f(r) = 0, ar∈ker f
f(r)f(a) = f(ra) = f(r)0 = 0, ra∈ker f

∴ar,ra∈ker f

위의 1),2),3)에 의해 ker f는 ideal입니다.

어떤 집합을 생각하고 그의 0으로 보내는 homomorphism을 생각했을 때 0으로 가는 R의 원소의 집합은 ideal입니다.

Thm 6.11 injective

Let f: R->S be a ring homomorphism. Then
f is injective ⇔ ker f = {0}

injective일 때는 ker f가 {0}일 수 밖에 없습니다. 증명은 냅다 치우고 솔직히 일대일로 대응되어야 하는데 0은 항상 0으로 대응되어야 하니까 다른게 ker f에 있으면 될까요?
당연합니다.

그럼에도 이를 증명하는 이유는 ker f = {0}이라는 것을 보인다는게 개념적으로 쉽기 때문입니다.

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ideal은 너무나 신기합니다.