6.2 Quotient Rings and Homomorphisms2

서론

오랜만에 돌아왔네요. 우리는 Quotient rings을 배우고 있습니다. 이는 나중에 대수기하를 공부한다면 다양한 분야로 쓰일 수 있다고 하네요. 그 유명한 페르마의 마지막 정리를 증명하는데에도 들어간다고 들었던 것 같습니다. 이렇게 적다간 글을 적을 여백도 없겠네요. 바삐 시작해봅시다.
Quotient는 한국어로 몫이라는 뜻입니다. 그래서 한국어로는 몫환이라고 부를까요. 정확히 왜 quotient ring이라고 부르는지는 잘 모르겠습니다만 실수 R을 Ideal에 따른 coset의 개수로 잘 쪼개어 낼 수 있기 때문이라고 합니다. 이 때 각 coset의 크기는 같을 수 밖에 없기 때문에 잘 나누어낸 몫같다고도 볼 수 있겠네요.
이러한 질문을 한 다른 사람이 있었는데 그 링크는 첨부하겠습니다.
https://math.stackexchange.com/questions/1662130/why-are-quotient-rings-called-quotient-rings

Quotient Rings and Homomorphisms

Thm 6.12 natural homomorphism

The map 𝛑:R→R/I defined by 𝛑(r) = r+I is a surjective homomorphism with kernel I
(𝛑 is called natural homomorphism)

증명에 앞서 이 정리가 시사하는 바를 알아봅시다.

모든 I은 kernel이 될 수 있다.

이전 시간에 Thm6.10에서 우리는 kernel과 ideal의 관계에 대해 생각해보았습니니다. 어떤 ring homomorphism f:R->S가 있을 때 그 ker(f)는 ideal이 된다는 것이었습니다.
말을 쉽게 풀어보겠습니다.

ring R에서 ring S로 가는 함수가 있을 때 그 함수의 정의역 중 0으로 가는 수들을 모은다면 그 수들은 ideal I가 된다.
라고 할 수 있습니다.

즉, 모든 kernel은 ideal이 된다.

그런데 이번 정리는 모든 ideal은 적당한 homomorphism의 kernel이 될 수 있다. 입니다.(homomorphism은 당연히 아시겠지만 연산을 보존하는 '함수'를 의미합니다.)

증명해봅시다.

proof of Thm6.12
𝛑 : R→R/I, 𝛑(r) = r+I

1. surjective
   R/I에서 coset r+I 하나를 골라봅시다. 그러면 그의 preimage가 당연스럽게도 존재합니다. 𝛑(r) = r+I이기 때문입니다.
   각 R/I의 원소마다 적당한 r∈R이 존재해서 𝛑(r) = r+I을 만족합니다 ㅎ

2. homomorphism
   덧셈보존
   𝛑(r+s) = (r+s)+I = (r+I)+(s+I) = 𝛑(r)+𝛑(s)

곱셈보존
𝛑(rs) = (rs)+I = (r+I)(s+I) = 𝛑(r)𝛑(s)

3. ker(𝛑) = I
   𝛑(r) = 0 ⇔ r+I = 0+I ⇔ r∈I

ideal의 성질 가운데는 그냥 어떤 수 r에 ideal의 원소들을 갖다가 더하면 똑같은 ideal에 속한다는 것이 있습니. 𝛑(r) = 0이라는 것이 0에다가 I의 원소들을 더한 것과 r에 더한 것이 같다는 의미이므로 r이 ideal(0+I)에 속한는 것을 의미합니다.

Thm6.13 First isomolphism thm

Let f:R→S be a surjective ring homomorphism. Let K = ker f.
Then R/K is isomolphic to S as a ring.

위의 Thm6.12는 homomorphism이 surjective라는 것까지만 보였습니다. 실제로 injective가 안되는 경우는 허다하게 많습니다. 예를 들어 $f:ℤ→ℤ_3$을 고려해봅시다. ℤ의 모든 원소는 $ℤ_3$의 단 3개의 원소에 대응됩니다. 1과 4는 동시에 1에 대응되는 것처럼 말입니다. 즉, injective라고 할 수 없습니다. 그런데 Thm6.13 즉, 이번 정리의 의미는 뭐냐면 ℤ를 잘 cutting해서 나누어주면 injective가 성립하여 isomolphism을 만들 수 있다는 의미입니다.

그렇다면 어떻게 cutting할 것이냐라고 물어볼 수 있습니다. 그 방법은 kernel로 정의역을 quotient ring을 만드는 방식입니다.
R을 R/K로 cutting하면 isomolphism이 됩니다. 위의 예시에서는 K = (3)인 것이고 ℤ/(3)은 사실 $ℤ_3$과 동일합니다. 즉, isomolphic.

증명을 보겠습니다.

proof)

1. Define 𝛗:R/K->s by 𝛗(r+k) = f(r)
   우리는 새로운 function 𝛗를 잡아 이 𝛗가 isomolphism임을 보이겠습니다. 여기서 헷갈리기 쉬운 부분은 𝛗는 r+K를 f(r)로 보낸다는 것입니다. f는 Thm 6.13 바로 아래에 정의되어 있습니다.

• well definedness
  모든 함수의 값들이 s에 잘 대응된다는 것은 f가 잘 정의됨으로 알 수 있습니다. 그런데 K로 cutting한 R에서는 한 coset이 여러가지 이름을 가질 수 있습니다. 이 때 실제로는 같지만 다른 이름으로 적혀 있는 coset이 같은 원소로 가는지는 한 번 살펴봐야겠습니다.
  확인해봅시다.

$r_1+K = r_2+K$ (두 coset이 이름이 다르지만 같은 coset임.)
$⇒r_1-r_2∈K$
$⇒r_1-r_2+K = 0∈R/K$
$⇒ f(r_1-r_2+K) = f(0) = 0 = f(r_1+K)-f(r_2+K) ⇒ f(r_1+K) = f(r_2+K)$

2. homomorphism
   덧셈보존
   𝛗$((r_1+K)+(r_2+K))$
   = 𝛗$((r_1+r_2)+K)$
   = $f(r_1+r_2) = f(r_1)+f(r_2)$
   = 𝛗$(r_1+K)$+𝛗$(r_2+K)$

곱셈보존
𝛗$((r_1+K)(r_2+K))$
= 𝛗$((r_1r_2)+K)$ (이해가 안된다면 앞의 isomolphsm의 연산을 참고합시다.)
= $f(r_1r_2) = f(r_1)f(r_2)$
= 𝛗$(r_1+K)$𝛗$(r_2+K)$

확실한건 f는 ring homomorphism이라는 것이죠. 그렇게 되면 𝛗도 ring homomorphism이 됨을 보였습니다.

3. injective
   우리는 앞서 증명한 것처럼 homomorphism이라면 kernel이 {0}임을 가지고 증명에 임합시다.

𝛗(r+K) = 0 이라고 가정합시다. 이 때 r+K가 0임을 보이면 됩니다.

𝛗(r+K) = f(r) = 0이고 즉 r∈ker(f) = K입니다. 즉, 0∈K이고 r도 K에 속하므로 0+K = r+K라고 할 수 있겠습니다.

∴ker(𝛗) = {0}

4. surjective
   s∈S를 하나 택합시다. 그러면 s는 f가 surjective이므로 어떤 r이 존재해서 f(r) = s입니다. 이 때, 각 r에 대해 r+K가 존재하여 f(r) = 𝛗(r+K)이므로 각 s마다 𝛗(r+K)=s를 만족하는 r이 존재한다고 할 수 있습니다. 즉, surjective입니다.

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다음 시간에는 prime ideal과 maximal ideal에 대해 알아보겠습니다.