서론

군 즉, group의 성질에 대하여 알아봅시다. identity는 어떤 성질을 갖게 되는지 같은 녀석들을 계속 연산하는 것은 어떠한 결과를 도출하게 될지 한 번 확인해봅시다.

Cartesian product

이전 시간에 다루지 못한 하나의 group인 Cartesian product group에 대하여 알아보고 시작하겠습니다.

Let (G,$\ast_G$) and (H,$\ast_H$) be groups.
Then G×H = {(g,h)|g∈G,h∈H} is a gruop with the following operation .
($g_1,h_1$)($g_2,h_2$) := ($g_1\ast_Gg_2,h_1\ast_Hh_2$)

두 group의 cartesian product는 각각의 연산을 각 위치에 갖다넣는 것으로 정의됩니다.
여기서 헷갈리면 안되는 것이 G에서는 연산이 더하기, H에서 연산이 곱하기라면 G×H를 할 때 첫번째 항은 더하기로 두번째 항은 곱하기로 연산해주어야 합니다.

example

G = $ℝ^\ast$, H = $ℤ_8$
(2,3)*(4,5) = (2×4,3+8) = (8,0)

identity = (1,0), inverse = ($1\over a$,-b).

7.2 Properties of groups

앞으로의 notation

우리는 라는 연산 기호를 매우 많이 사용할 예정인데 아무래도 쓰기가 귀찮으니 앞으로는 생략할 예정입니다.
예를들어 ab = ab와 같이 쓸 예정입니다.
하지만 특별히 더하기의 경우에만 a+b와 같이 써주겠습니다. 아무래도 곱하기랑 비슷해서 말이죠.

Thm7.5 cancellation of groups

(1) G has a unique identity.
(2) ab = ac or ba = ca ⇒ b = c. (cancellation law)
(3) The inverse of a is unique.(will be denoted by$a^{-1}$)

proof sketch)
(1) 두 개의 identity가 있다면 그 두 개가 서로 같음을 보여봅시다!
Suppose e,e' is indentity of G.
그러면 e = e'e입니다. e'은 identity이기 때문에 곱해도 같습니다. 이 때 다시 e'e = e'입니다. e가 identity이기 때문에 e'의 뒤에 e곱해준 e'e라는 식의 값을 e'으로 만들어주기 때문입니다.

즉 e = e'

identity는 하나 밖에 없군요.

(2) group에는 너무나도 좋은 성질이 있는데 모든 원소에 inverse가 존재한다는 것입니다. (2)의 1번 식 맨 앞에 $a^{-1}$을 곱해주면 b=c, 2번 식의 맨 뒤에 $a^{-1}$을 곱해주면 b=c가 됩니다.

쉽쥬?

(3) inverse는 하나 밖에 없게 되는데 이번에도 d,d'이 동시에 inverse라고 가정하고 d=d'임을 보입시다.
Suppose d,d' are inverses of a.
그러면 ad = e 입니다. d가 inverse이기 때문이죠. 그런데 e = ad'입니다. d'이 a의 inverse이기 때문입니다. 그러면 ad=ad'이네요. 여기서 (2)을 사용해도 되지만 그냥 양변의 맨앞에 d를 곱해줍시다. 그러면 d는 a의 inverse이므로 ed=ed'이고 즉, d=d'입니다.
inverse는 하나 밖에 존재하지 않네요.

Cor 7.6 inverse property

(1)$(ab)^{-1}$ = $b^{-1}a^{-1}$
(2) $(a^{-1})^{-1}$ = a

아주 당연합니다. ab의 inverse는 ab에 곱해서 e를 만들어야 하므로 $b^{-1}a^{-1}$가 될 수 밖에 없습니다.
직접 곱해보면 ab$b^{-1}a^{-1}$= a(b$b^{-1}$)$a^{-1}$ = a$a^{-1}$ = e이기 때문입니다.

(2)은 진짜 그냥 넘어가겠습니다. 당연하쥬?

New notation

원래 알고 있던 표현인데요
$a^n$이라는 표현을 a를 n번 연산했다는 의미로 적겠습니다.
물론 n>0일 때요

만약 n = 0 이면 $a^n = e$이구요.

n<0이면 inverse를 n번 연산했다는 뜻입니다.$a^{-n}$은 $a^{-1}$을 n번 연산했다는 뜻입니다.

그런데 여기서도 특히 더하기 일 때는
$a^n$이라고 쓰지 않고 na라고 쓰겠습니다.
a를 n번 더했다는 의미입니다.

물론 n이 0보다 작으면 -a를 n번 더했다는 의미구요 n=0이면 그냥 0입니다.

Order of an element

Def of order

정말 중요한 개념이고 앞으로 group을 다루면서 계속 나올 개념입니다.

a를 n번 연산해서 identity가 될 수 있다면 그 가장 작은 n을 우리는 order라고 부르겠습니다.
만약 identity가 되지 않는다면 order는 무한대 ∞라고 적겠습니다.

The order of a = smallest k∈ℕ s.t $a^k = e$. if there is no such k, the order is infinite.

notation

G를 group, a∈G 라고 하면
|G|는 G가 set이기 때문에 우리가 원래 쓰던 notation대로 집합의 크기롤 의미하는 것입니다.
|a|는 a의 order를 의미하는 표현입니다.

order는 한 원소에 관해서 정의되는 성질입니다!

Example

1. G = $ℤ_6$
   |0| = 1, |1| = 6,|2| = 3,|3| = 2,|4| = 3,|5| = 6

걍 최소공배수를 구해서 나눠주면 됩니다. 뭐로 나누면 될지는 스스로 생각해보세요.

2. G = ℤ
   |0| = 1, |a| = ∞ for a ≠ 0

아무리 연산을 해도 0이 될 수 가 없습니다!

Thm 7.8 distinct property of order

G : group, a∈G
(1) If |a| = ∞, then $a^k$ for k∈ℤ are all distinct.
(2) If $a^i = a^j$ for some i≠j, then |a| < ∞.

proof sketch)
사실 (1)하고 (2)은 동치입니다. 완전히 같은 말이라는 의미죠. (1)의 대우가 (2)입니다.
그러면 1번 사실을 증명하면 (2)은 자연스럽게 맞게 됩니다.

한번 (2)을 증명해봅시다. $a^i = a^j$임을 가정합시다. 그리고 i>j라고 해보죠. 그러면 group에서는 inverse가 잘 존재하기 때문에 $a^{-1}$를 j번 양변에 연산해줄 수 있습니다. 그러면 $a^{i-j} = e$입니다. 즉 어떤 i-j가 존재해서 a의 order가 될 수도 있다는 의미입니다. 더 값이 존재할 수도 있구요. 하여튼 확실한건 order가 존재한다는 것입니다. 즉 |a| < ∞라고 할 수 있겠군요!

Thm 7.9 $a^t$의 order

G: group, Let a∈G with order n<∞. Then
(1) $a^k$ = e ⇔ n|k
(2) $a^i=a^j ⇔ i≡j(mod n)$
(3) If n = dt with d≥1, then |$a^t$| = d

일단 의미에 대해서 살펴봅시다. (1)은 너무 당연하기 때문에 직관적으로 보고 넘어갑시다. order가 n이라는 것은 $a^n = e$ 라는 겁니다. 그런데 이건 뭔소리냐면 1,2,3...n번까지 연산하는건 e가 아니라는 겁니다. 그렇기에 $a^n$에 $a^n$에 a를 3번 더 연산하는건 e에 3번 연산한 것과 같습니다. 즉, e가 또 나오려면 n의 배수번 연산을 할 수 밖에 없는 것이죠.
실제 증명과정에서는 division algorithm을 사용합니다.

proof sketch)
(2)$a^i=a^j$⇔$a^{i-j} = e$⇔$n|i-j$⇔i≡j(mod n)

(3) $(a^t)^d = a^n = e$
위의 한 줄은 d가 $a^t$의 order의 배수임을 보이는 증명입니다.

그렇다면 d가 order임을 보여봅시다.
만약에 $(a^t)^k = e$를 만족하는 k들은 모두 d보다 크거나 같음을 보이면 됩니다. 그렇다면 d는 가장 작은 e를 만드는 값이므로 order가 됩니다.

$(a^t)^k = a^{tk}$⇒$n|tk$⇒$n≤tk$⇒$dt≤kt⇒d≤k$

위의 줄은 n이 tk를 나누므로 n은 tk보다 같거나 작고 즉 td가 tk보다 작거나 같으므로 d가 k보다 같거나 작음을 의미합니다.
즉 t의 배수 중 가장 먼저 n이 되는 d라는 값이 order가 됩니다.

Cor 7.10 이게 된다니 싶은...

Let G be an abelian group
Suppose ∃c∈G such that |a|≤|c|<∞ for all a∈G.
Then |a| divides |c| for any a∈G.

이게 될까 싶은...정리입니다. G가 abelian group 즉, commutative group이라고 해봅시다 그러면 가장 큰 어떤 order가 존재하면 나머지 order들은 그 수의 약수가 된다는 의미입니다.

먼저 예시를 보고 직관을 얻어봅시다.

$ℤ_6$는 abelian group입니다. 연산은 당연히 +를 가져오겠습니다.
그러면 G각 order는 다음과 같습니다.

value	order
0	0
1	6
2	3
3	2
4	3
5	6

가장 큰 order는 6이고 나머지는 정말 그의 약수가 됨을 확인을 할 수 있습니다.

증명으로 정확히 확인해봅시다.
proof sketch)

먼저 증명없이 사용할 명제가 하나 있습니다.

Let G be a group and a,b∈G.
Suppose ab=ba and (|a|,|b|) = 1. Then |ab|=|a|×|b|.

group에서 두 수가 commutative이고 두 수의 order의 gcd가 1이면 둘을 쪼개어 낼 수 있다는 것입니다. 다른 말로 두 수의 order는 두 수를 곱한 수의 order의 약수입니다.
그도 그럴 것이 order의 gcd가 1이라는 것은 두 order를 a,b라고 할 때 최소공배수가 ab가 된다는 의미입니다. 그러면 ab는 a도 e가 되어야 하고 동시에 b도 e가 되어야 e가 될테니 |ab| = |a||b|가 될 수 있겠군요. commutative 조건은 a를 a들만의 연산된 형태로 b를 b들만의 연산된 형태로 만들기 위해 필요한 조건입니다. 예를 들어 $ab^c$를 $a^cb^c$로 만들기 위한 조건이라는 의미입니다.

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위와 같은 명제를 가정하고 a,c가 G에 속하고 c는 그 중 가장 큰 order를 갖는 수라고 해봅시다.

또한 명제를 부정하여 |a|가 |c|를 나누지 못한다고 가정한 후 모순을 이끌어냅시다.

이 증명을 위해 한 가지 생각해야할 점은 a와 c를 아무리 연산할지라도 그 결과는 G에 들어있다는 것입니다. 우리는 a와 c에 특별한 연산을 한 후 서로를 연산한 어떤 수의 order가 c의 order보다 큼을 보입시다.

그러기 위해 |a|와 |c|를 소인수분해 해보겠습니다.

그러면
|a| = $2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}...$
|c| = $2^{c_1}3^{c_2}5^{c_3}...$

Then ∃prime p such that $a_p>c_p$.
소인수분해 했을 때 나누어지지 않으니 어떤 소수에 관해서는 그 제곱수가 클 수 밖에 없습니다.

Write
|a| = $p^{a_p}\cdot{|a|\over p^{a_p}}$ :=rm
|c| = $p^{c_p}\cdot{|c|\over p^{c_p}}$ :=sn

두 수를 나눌 다음과 같이 나누어 낼 수 있습니다.
각 부분을 차례대로 r,m,s,n에 대응시키겠습니다.그러면 r>s보다 클 수 밖에 없고 r과 n은 서로소입니다.

우리는 여기서 $a^mc^s$을 고려해봅시다. 그러면 $a^m$과 $c^s$의 order가 각각 r,n이고 r,n이 서로소이므로 $a^mc^s$의 order가 rn임을 알 수 있습니다. 위의 증명없이 쓰는 명제에 의해서입니다.

그런데 분명 c의 order는 가장 크며 sn인데 r이 s보다 크므로 $a^mc^s$의 order가 더 큰 값이 되버립니다. 즉, 모순입니다.

결국 |a|가 |c|를 나눌 수 밖에 없다는 사실입니다.

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Group이 가질 수 밖에 없는 여러 property에 대해서 알아보았습니다. 다음으로는 subgroup에 대해 알아보겠습니다.