7.3 Subgroups

서론

ring에서도 subring이 있었듯 group에도 subgroup이 있습니다. 연산은 보존하되 그 set은 subset인 group입니다.
어떤 조건을 만족할 때 subgroup이 될 지 한 번 알아봅시다.

Subgroups

Def of subgroup

Let g be a group. A subset H of g is called a subgroup of G if H is a group under the operation of G.

서론에서 말씀드린 정의 그대로 입니다. 다음으로 subgroup의 예시를 살펴봅시다.

group은 operation에 닫혀 있어야 하며 inverse, identity를 가지고 있어야하고 associativity가 성립해야합니다.

Example

1. G : any group. {e} and G are subgroups.

자기 자신과, identity만 가져다 놓은 set은 group이 됩니다.

2. R:ring, (R,+)은 group입니다. 이 때 R의 subring S에 대하여 (S,+)는 당연하게도 subgroup입니다.

3. Let G = $U_15$ = {units of $ℤ_15$} = {1,2,4,7,8,11,13,14}
   Then H = {1,4} is a subgroup of G.

4는 자기자신을 inverse로 갖습니다. identity에 그러한 4까지 포함해주면 깔끔하게 subgroup이 됩니다.

4. G = $D_4$, H = {$r_0,r_1,r_2,r_3$}
   Dihedral group을 생각해봅시다. 이 때 정사각형을 회전하는 연산만 모아놓은 것도 잘 group이 됩니다.
   당연하죠?

Thm7.11 subgroup test

Let G be a group and H be a non-empty subset of G.
H is a subgroup of G if
(1) a,b∈H ⇒ ab∈H
(2) a∈H ⇒ $a^{-1}∈H$

만약 어떤 G의 subset H가 subgroup이 될지 알고 싶다면 다음의 (1),(2)을 확인해보면 된다는 것입니다.

증명의 아이디어는 간단합니다.
연산을 그대로 가져왔으니 associativity는 가볍게 성립합니다.
이 때 H가 연산에 닫혀있고 H 원소 각각의 inverse가 모두 H에 들어있다면 identity 또한 H에 들어있게 됩니다. 확인해봅시다.

pf)
Suppose (1),(2).
그러면 어떤 a에 대해 %a^{-1}가 존재합니다. - (2) 그런데 H가 연산에 닫혀있으므로 $aa^{-1} 또한 H에 있게 됩니다. -(1)
즉 $aa^{-1}$ 인 e가 H에 존재합니다.

즉 (1)과 (2)이 성립하면 subgroup입니다.

Thm7.12 유한 subgroup이면?

In the above thoerem, the condition (1) impiles (2) if |H|<∞

proGof sketch) H가 유한집합이고 closure under operation이라고 가정해봅시다.
이 때 (2)을 implie한다는 것은 각 a∈H에 대해 $a^{-1}$가 존재함을 보이면 됩니다.

H에서 아무 a나 뽑아옵시다. 그렇다면 H가 연산에 닫혀있으므로 모든 k에 대해 $a^k$들이 다시 H에 속합니다. 더불어 H가 유한집합이므로 어떤 i,j에 대해 $a^i = a^j$입니다.(i>j) (예를 들어 원소가 4개라면 아무리 많이 순환해봤자 4번주기로 순환하겠죠.)

여기서 잘 생각해야합니다. 아직 H에 e가 들어있는지는 알 수 없습니다. 대신 H가 closure under operation이고 유한집합인 건 알고 있습니다. 여기서! 그의 원소 a가 H가 아닌 G에서도 어떤 i,j에 대해 $a^i = a^j$입니다.(i>j)가 성립한다는 것이 중요합니다. 모든 n에 관하여 $a^n$은 모두 H에 들어있습니다. 즉 G에도 들어있습니다. G에는 a의 inverse가 존재합니다. 즉 $a^{i-j} = e in G$입니다. 그러면 a에 i-j번 연산한 것이 e이므로 H에도 e가 들어있다는 사실을 알 수 있습니다.

더불어 $a^{i-j}= aa^{i-j-1} =e$이므로 a의 inverse가 $a^{i-j-1}$로 존재한다는 사실 또한 알 수 있겠습니다.

즉, 유한집합이면 closure under operation만 잘 성립해도 subgroup임을 알 수 있겠습니다.

Center of a group

Let G be a group. The center of G is a subset defined as follows.
Z(G) := {a∈G|ag=ga for all g∈G}

commutative가 성립하는 모든 원소들을 모아 놓은 집합을 center라고 합니다.

Example

1. If G is ableian, Z(G) = G.

abelian group의 모든 원소는 당연하게 center입니다. 더 볼 것도 없쥬.

2. Z($S_3$) = {e}

이건 증명해볼 필요가 있겠네요. symmetric group 3입니다. 3개의 instance를 permutation하는 과정입니다.
e가 아닌 어떤 f를 $S_3$에서 뽑아봅시다. 어떤 연산입니다. 그러면 우리는 g라는 연산을 찾아서 gf≠fg임을 보일 예정입니다. f는 e가 아니므로 어떤 i,j∈{1,2,3}에 관해서 f(i) = j 이고 i≠j이게 할 수 있습니다.

그러면 g를 선택해봅시다. 뭐 하나만 고르면 되기 때문에 i,j,k s.t i≠j≠k 중
$\begin{pmatrix}i&j&k\\i&k&j\\ \end{pmatrix}$를 g라고 하죠.

그러면 gf(i)는 f(i)가 j이므로 g에 j를 넣은 k입니다.
그런데 fg(i)는 g(i)가 i이므로 f에 i를 넣은 j입니다.

이 g는 f에 관해서 commutative가 성립을 안하네요. 즉 어떤 f를 고르더라도 g가 존재하므로 e외에는 center가 안되겠습니다.

여기서 살짝 좋은 테크닉을 쓰면 더 눈에 잘 보이는데 i를 그냥 1 j를 2라고 표현하는 relabling을 해주면
$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\\ \end{pmatrix}$를 g라고 하고 f(1) = 2가 되어서 더 보기 좋습니다.

1하고 2는 그냥 우리 맘대로 원래 알던 1,2,3 중 아무 것으로나 바꿔도 되는 새로운 문자라고 생각하시면 됩니다.

Thm7.13 center는 subgroup이다.

Z(G) is a center of subgroup of G

center는 subgroup이라고 합니다. 당연히 abelian group이겠죠. 증명해봅시다!

proof sketch)
1. Z(G) is nonempty.
항상 해줘야 하는게 nonempty 체크입니다. empty면 아무런 의미도 없잖아요?

Z(G)에는 항상 e가 속합니다. 왜냐면 어떤 원소 g든 eg=ge이기 때문이죠. 즉 e∈Z(G)입니다.

두번째로는 subgroup test를 사용해줄겁니다.

2. closure under operation
   a,b가 Z(G)에 속한다고 해봅시다. 이 때 ab도 Z(G)에 속하면 됩니다.
   a,b가 속한다는 것은 g∈G들에 관해 ag=ga,bg=gb라는 뜻입니다.

이 때 k∈G를 뽑아 와서 abk=kab임을 확인해봅시다.

abk = a(bk) = a(kb) = (ak)b = kab. 잘 성립하네요. 즉 ab∈Z(G)

3. existence of inverse
   $a^{-1}g$ = $a^{-1}ge$ = $a^{-1}gaa^{-1}$ = $a^{-1}aga^{-1}$ = $ga^{-1}$

∴$a^{-1}∈Z(G)$

Cyclic groups

이게 왜 필요할까요?

그것은 이 질문에 답하기 위해서 입니다.
Q : What is the smallest subgroup of G contatining a?
a를 포함하는 가장 작은 subgroup은 뭘까요

여기서 생각해볼 점은 a를 포함하는 group은 모든 k에 대해 $a^k$도 포함한다는 점입니다.

$\lt a \gt := {a^k|k∈ℤ}$

Thm 7.14 Cyclic group

Let G be a group and let a∈G
Then \lt a \gt is a subgroup of G

proof sketch)
1. nonempty
최소 a는 들어있겠쥬?

2. closure under operation
   Let $a^i,a^j∈\lt a \gt$ Then $a^ia^j = a^{i+j}∈\lt a \gt$

3. existence of inverse
   Let $a^i∈\lt a \gt$ Then $(a^i)^{-1}$ = $a^{-i}∈\lt a \gt$

Def of cyclic group

$\lt a \gt$ is called the cyclic subgroup of G.
If G=$\lt a \gt$ for some a∈G, G is called a cyclic group

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살려주어어어ㅓ