7.3(2) Cyclic group

서론

저번 글에서 Cyclic subgroup에 대해서 알아보았습니다. 이번 글에서는 cyclic subgroup이 갖는 성질들에 대해서 알아보고 group homomorphism과 isomolphism에 대해서 알아보겠습니다.
Cyclic group은 사실 field에서는 finite한 모든 subgroup을 나타내기도 합니다.

Cyclic group은 진짜 제일 단순한 형태의 group인듯 싶습니다.

확인해봅시다.

Cyclic subgroup

def of Cyclic group

$\lt a \gt$ is called the cyclic subgroup of G.
If G=$\lt a \gt$ for some a∈G, G is called a cyclic group

지난 마지막에 알아본 정의입니다.

두 가지 예시를 살펴보며 cyclic group에는 무엇이 있을지 살펴봅시다.

Example

1. ℤ = <1> : cyclic group of infinite order.
   +연산으로 정의돼 있기 때문에 <1> cyclic group은 ℤ입니다.

2. $U_{15}$ = {units of $ℤ_{15}$} = {1,2,4,7,8,11,13,14}
   <1> = {1}
   <2> = {2,4,8,1}
   <7> = {7,4,13,1}

우리는 사실 여기서 어떤 a를 뽑아도 $\lt a \gt$ = U가 되게 할 수는 없습니다. 즉 U는 cyclic group이 아니라고 할 수 있겠습니다.

Thm7.15 finite of infinite Cyclic group

(1)If |a| = ∞, then $a^k$ in $\lt a \gt$ are all distinct
(2) If |a|=n, then $\lt a \gt$ = {e,a,a^2,a^3,...,a^{n-1}}

(1)앞서 Thm7.9에서 증명한 바와 같이 order가 infinite면 모든 k번 연산한 값들이 distinct합니다. 아무래도 cyclic group이 infinite가 되겠군요.

(2)또한 만약 order가 어떤 자연수라면 $a^k$는 순환한다고 하였습니다. 그러니 그 원소는 e~$a^{n-1}$까지 밖에 없게 됩니다.

Thm 7.16 Field에서의 cyclic group

Let F be a field, Every finite subgroup of $F^\ast$ is cyclic.

field에서 곱하기 연산을 가져오고 0을 제외시켜 가져온 group $F^\ast$이 finite하다면 cyclic일 수 밖에 없다고 합니다.
만약 이게 사실이라면 앞서 Example에서 본 $U_{15}$의 subgroup으로는 cyclic 밖에 없겠군요.

증명 해볼까요?
앞서 7.2에서 증명한 Cor 7.10을 들고 오겠습니다. G가 abelican group이라면 가장 큰 order를 나머지 더 작은 order들이 그의 약수가 될 수밖에 없음을 보이는 Cor였습니다.

우리는 $F^\ast$에서 가장 큰 infinite가 아닌 order m을 뽑겠습니다.(사실 finite group이므로 infinite order가 존재하지 않습니다.) 그러면 Cor7.10에 의하여 G에 속하는 모든 a의 order |a|가 m을 나눕니다. 즉, $a^m = 1_F$가 됩니다.
그렇다는 것은 G의 모든 원소 a가 polynomial $x^m-1 = 0$ in F 해가 된다는 것과 같습니다. $x^m-1$의 해는 많아야 m개 존재할 수 있으므로 |G| ≤ m이라고 할 수 있겠습니다.

그런데 m은 c의 order입니다. 결국 e부터 c $c^2$ $c^3$ ... $c^{m-1}$이 모두 G에 들어 있음을 알 수 있습니다. 이들의 수는 m이죠? 즉 |G| ≥ m입니다.

|G| ≤ m and |G| ≥ m ⇒ |G| = m입니다.

즉, G = $\lt c \gt$입니다.

만약 $F^\ast$의 finite subgroup은 어떤 원소 c의 cyclic group이네요.

Thm 7.17 Cyclic group의 subgroup은 cyclic

Every subgroup of a cyclic group is cyclic.

proof sketch)
G = $\lt a \gt$ 이고 H를 그의 subgroup이라고 합시다.
먼저 identity만 포함하는 group을 확인합시다.
1) H = {e}. Then H = $\lt e \gt$는 cyclic 입니다.

2) H ≠ {e}
일단 H는 $a^k$들로 구성돼 있습니다. 우리는 H에 속해 있는 $a^k$ 들의 k 중 가장 작은 값을 가져옵시다.

그러면 우리의 주장은 이렇습니다.
H = $\lt a^k \gt$
가장 작은 k의 cyclic이 H일 것이라는 이야기입니다.

우리는 H에서 어떤 $a^t$를 뽑으면 그 t가 k로 나누어진다는 사실을 통해 이를 보이겠습니다.

division algorithm을 사용합시다.
어떤 unique n,r에 대해 t = nk+r, 0≤r<k 입니다.

그러면 만약 r>0이라고 해봅시다.
그러면 $a^r = a^{t-nk}$인데 이러면 r은 k보다 작으므로 k가 가장 작은 order라는 데에 모순입니다.

즉, r = 0입니다.
그렇다면 k|t군요.

H는 group이므로 operation에 닫혀있고 $a^k$의 k가 모든 t를 나눌 수 있으므로 $a^k$자체를 계속 연산함으로 모든 원소를 표현할 수 있게 되기 때문에

H = $\lt a^k \gt$라고 할 수 있으며 H의 원소 중 G에서 가장 작은 order를 가지는 $a^k$로부터 온 cyclic group이라고 할 수 있겠습니다.

Generator of a group

필요성

$\lt a \gt$는 a를 포함하는 가장 작은 group임이 분명합니다.
이때 이 a를 확장한 것과 같은 과정을 일반적인 set S에서 할 수는 없을까요? $\lt a \gt$를 일반화해봅시다!

def of Generator

G : group, S⊆G: subset
$\lt S \gt$ : The set of all possible products, in every order, of elements of S and their inverses.
$\lt S \gt$ : smallest supgroup of G contatining S.
If G = $\lt S \gt$, then S is called a generator of G.

S의 원소들로 가능한 모든 연산을 해서 만든 group을 $\lt S \gt$라고 합니다.
이 때 S를 포함하는 가장 작은 subgroup은 $\lt S \gt$라는게 증명이 됩니다..(증명은 하지 않을게요.) 만약 $\lt S \gt$이 G와 같으면 S를 generator라고 부릅니다.

적당히 예시만 보고 넘어갈 생각입니다.

Example of generator

$U_{15}$ = {1,2,4,7,8,11,13,14} S = {2,7}
먼저 $\lt S \gt$를 구하기 위해
편의상 <2>,<7>을 먼저 구합시다.

<2> = {1,2,4,8}
<7> = {1,4,7,13}

일단 이 두 집합을 합쳐봅시다. 그러면 {1,2,4,7,8,13}. 그런데 아직 $U_{15}$가 되기엔 11과 14가 부족합니다. 이들의 연산으로 11,14를 만들 수 있을까요? 정답은 YES입니다.

11 = 26 = 2 $\ast$ 13 = 2$\ast$$7^3$
14 = 2*7

연산은 곱하기임으로 위와 같이 만들 수 있겠네요.

즉, S는 U의 generator라고 할 수 있겠습니다!

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Cyclic group은 좋은 성질을 가지고 있네요 ㅎ