7.4 Group homomolphism and Isomolphism

JUHONGYEE·2022년 6월 19일

열심히 올리는 현대대수

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서론

대수구조가 같다. 이는 굉장히 좋은 성질입니다. 우리가 보는 어떤 사물과 그의 성질들을 전혀 달라보이는 것에 매칭할 수 있으니까요. 그런 기법을 우리는 경우의 수에서 많이 사용합니다. 우리가 사람을 줄 세우는 것과 수를 줄세우는 것은 근본적으로 동일하다는 것이죠.

우리는 잘 모르는 것을 잘 알고 있는 것으로 변환하고자 하는 시도를 많이 하곤 합니다. 우리는 그 시도를 대수에서 homomolphism을 찾는다 Isomolphism을 찾는다고 칭합니다.

오늘 우리는 Group에서의 그러한 시도를 해보겠습니다.

Group homomolphism and isomolphism

definition

Let G,H be groups. Let f:G→H be a function.
(1) f:G→H is called a homomolphism if
f(ab) = f(a)f(b) for all a,b∈G
(2) f:G->H is called an isomolphism if
f is a homomolphism and bijective

homomolphism과 isomolphism은 ring에서 자주 본 것처럼 함수를 의미하는 것입니다. 여기서 homomolphism은 연산만 보존해도 되며 Isomolphism은 그 원소들도 일대일대응 시킬 수 있는 상황입니다.

우리의 바라는 바

우리는 Isomolphism이 존재함을 사실 알고 싶습니다.
그러면 가장 먼저 생각나는 방법은 그러한 isomolphism f를 찾는 것이 될 것입니다.

예시를 볼까요?

Example

G = ℤ, H = nℤ = {nk|k∈ℤ}, n∈ℕ.

ℤ가 무한집합이기 때문에 이게 잘 원소를 보내주면 Isomolphism으로 만들 수 있습니다.

∀a∈ℤ f(a) = na라고 합시다. a를 na로 보내는 함수인데요 이 함수는 Isomolphism입니다.

증명이 너무나 easy하니 직접 해보시길 바랍니다.
1) surjective 2)injective 3)homomolphism 순으로 증명하시면 됩니다.

G = $ℤ_4$ = {0,1,2,3}, H = $U_5$ = {1,2,3,4}

오 이건 좀 특별하네요? $ℤ_4$ 의 연산은 더하기, $U_5$ 의 연산은 곱하기 임에도 불구하고 두 group이 Isomolphism이 된다고 합니다. 얘는 다 확인해봅시다.

먼저 대응을 어떻게 시킬지 고민해봅시다.

일단 homomolphism이라면 identity는 identity로 가야합니다.

즉, f(0) = 1이라는 것이죠.

우리는 이것들을 뭘로 대응시킬지는 order를 보면 쉽게 알 수 있습니다.
먼저 $ℤ_4$ 부터 order를 고려해보겠습니다.

elements	order
1	4
2	2
3	4

그 다음엔 $U_5$ 입니다.

elements	order
2	4
3	4
4	2

입니다.

이 때 우리는 2가지 경우의 수를 생각해볼 수 있습니다.
f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) =3
과
f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 2

f(1)과 f(3)을 바꾸는 것이죠 왜냐면 order가 4인게 2개씩 있기 때문입니다.

Thm7.19 Classification of cyclic groups

Let G = $\lt a\gt$ be a cyclic group
(1) |G| = ∞ ⇒ G ≅ ℤ
(2) |G| = n < ∞ ⇒ G ≅ $ℤ_n$

proof sketch)
(1) Define f: $\lt a\gt$ →ℤ by f( $a^k$ ) = k.
order가 infinity이면 모든 $a^k$ 값이 모두 다릅니다. 각각 다른 값들이 그 k마다 대응되니 bijective입니다.
f( $a^ia^j$ ) = f( $a^{i+j}$ ) = i+j = f( $a^i$ )+f( $a^j$ ) ⇒ f is a homomorphism.

∴ G ≅ ℤ

(2) |a| = n ⇒ $\lt a\gt$ = {e,a, $a^2$ ... $a^{n-1}$ }. Define f: $\lt a\gt$ → $ℤ_n$ by f( $a^k$ ) = [k].

(1)과 같이 f를 정의했으므로 homomorphism이 자연스럽게 성립합니다.

Thm 7.20 homomorphism property

(1) f( $e_G$ ) = $e_H$
(2) f( $a^{-1})$ = $(f(a))^{-1}$
(3) Im f := {f(a)|a∈G}⊆H is a subgroup of H.
(4) If f is injective, then G≅Im f

(1)은 identity는 identity로 간다는 의미입니다. 어떤 걸 증명할 때 매우 중요한 성질입니다

(2)의 의미는 a의 inverse가 f(a)의 inverse로 간다는 것입니다.

(3)은 f가 비록 surjective가 아닐지라도 homomorphism을 만족하는 f의 image는 group을 만족한다는 의미입니다. G가 group의 성질을 만족하고 f가 homomorphism이니 그럴 수도 있겠다는 생각이 들지요?

(4)은 f가 injective 일 때 G와 Im(f)가 Isomolphism, 즉 각각이 하나씩으로만 연결되고 공역을 치역으로 축소하면 Isomolphism이 성립하겠다는 의미입니다.

proof sketch)
(1) f( $e_G$ ) = f( $e_Ge_G$ )= f( $e_G$ )f( $e_G$ )
f( $e_G$ )∈H이고 H는 group이므로 f( $e_G$ )의 inverse가 존재해서 cancel할 수 있습니다.
즉, $e_H$ = f( $e_G$ )

(2) f( $a$ )f( $a^{-1}$ ) = f( $a$ $a^{-1}$ ) = f( $e_G$ ) = $e_H$
즉 f( $a^{-1}$ ) 은 f(a)의 inverse. 즉 $(f(a))^{-1} = f(a^{-1})$

(3)homomorphism f가 있다고 생각해봅시다,
Im(f)가 subgroup을 만족하는지 확인해봅시다.

nonempty
f( $e_G$ ) = $e_H$ ∈H
closure under operation
Suppose a,b∈Im(f). Then ∃c,d∈G s.t f(c) = a,f(d) = b.
f(c)f(d) = f(cd) = ab ⇒ ab∈Im(f)
existence of inverse
모든 $a$ 에 관해 $a^{-1}$ 가 G에서 존재하는데 f는 G의 모든 원소가 H로 하나씩 대응되고 (2)에 의해서 f(a)들의 inverse도 Im(f)에 들어있을 수 밖에 없다.