삼차방정식의 허근의 성질

$x^3 - 1 = 0$ 삼차방정식을 다르게 표현하면
$x^3 - 1^3 = 0$ 이고, $(x-1)(x^2 + x + 1)$ 으로 인수분해 된다.
$(x^2 + x + 1)$ 의 판별식 $D$는 0보다 작기때문에, 이차식은 허근을 갖는다.
$(x^2 + x + 1)$의 한 허근을 $\omega$ 라고할때, 나머지 근을 $\overline{\omega}$ 이라고 할수있다.

• 계수가 실수인 이차방정식에서 한 근이 $p + qi$ 일경우, $p - qi$도 근이기때문에

$x^3 - 1 = 0$ 의 세 근을 $1,\omega,\overline{\omega}$ 라고 볼수있다.

• $(x^2 + x + 1)$가 $x^3 - 1$ 의 인수 이기때문에 $(x^2 + x + 1)$의 근이 곧 $x^3 - 1$의 근이라고 할수있다.

이차식 $x^2 + x + 1$을 이차방정식의 근과 계수의 관계로 볼때,
두 근의 곱은 1이다.

$x^2$ 의 계수 1 , 상수항 1, $\frac{1}{1} = 1$

즉, $\omega \times \overline{\omega} = 1$ 이기때문에, $\overline{\omega}$는 $\omega$의 역수라고 볼수있다.
$(\omega^3 = 1) = \omega^2 \times \omega = 1$ 이기때문에, $\omega^2$ 또한 $\omega$의 역수라고 할수있다.
그래서, $\omega$의 역수는 $\omega^2$ 와 $\overline{\omega}$ 이고, $\omega^2 = \overline{\omega}$ 라고 볼수있다.

$\omega^3 = 1$ 이기때문에, $\omega$의 지수를 3으로 나눈 나머지로 바꿔도 무방하다.

$\omega^{100} = \omega \times (\omega^3)^{33} = \omega \times 1^{33} = \omega$
$\omega^{99} = (\omega^3)^{33} = 1^{33} = 1$

$a^b = 1$일때의 두가지 성질

$a \neq 1$일때, $a^b = 1$가 성립한다면 2가지 성질을 가진다.
1. $a$의 지수를 $b$로 나눈 나머지로 변경할 수 있다.

$a^5 = 1$ 일때, $a^{17} = a^2$이 성립한다.

• $a^{17} = a^{15} \times a^2$
• $a^{15} = a^5 \times a^5 \times a^5 = 1$
• $a^{17} = 1 \times a^2$

2. $a$의 지수가 연속된 정수일때, $b$개의 항의 합은 0이다.

$a^{4} = 1$ 일때, $a^3+a^2+a+1 = 0$

• $a^{4} - 1 = (a-1)(a^3+a^2+a+1) = 0$
• $a^3+a^2+a+1 = 0$
• $a^{44} + a^{45} + a^{46} + a^{47} = (a^{44})(1 + a^{1} + a^{2} + a^{3})$
• $(a^{44})(0) = 0$