근의공식

근의 공식(Quadratic Formula)은 이차 방정식의 해를 구하는 데 사용되는 공식입니다.

유도 과정

1. $ax^2 + bx + c = 0$
   양변을 $a$로 나눈다. (단, $a \neq 0$)

2. $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
   상수항 $\frac{c}{a}$를 우변으로 이항한다.

3. $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
   양변에 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$를 더한다.

   양변에 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$를 더하는 이유는, $x^2 + \frac{b}{a}x$를 완전제곱식으로 인수분해하기 위함이다.

4. $x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
   좌변은 완전제곱식으로 인수분해할 수 있다.

5. $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
   우변을 정리하면,

6. $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

7. 양변에 제곱근을 취하면,
   $x+\frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

8. 우변의 분모를 정리하면,
   $x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   여기서 $\frac{b}{2a}$를 이항하면,

9. $x = \frac{-b \,\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

판별식 (D)

• $b^2 - 4ac$의 값에 따라 방정식의 해의 종류가 결정되므로, 이를 판별식(Discriminant)이라고 하며 D로 나타낸다.

• 해의 종류

  • D > 0
    두 개의 서로 다른 실수 해를 가진다.
  • D = 0
    중근을 가진다.
  • D < 0
    두 개의 서로 다른 허근(허수 해)을 가진다.
    

b가 2의 배수일 경우

$ax^2 + 2b'x + c = 0$의 해를 구해보자.

1. 근의 공식을 적용하면,

   $x = \frac{-2b' \pm \sqrt{(2b')^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b' \pm \sqrt{4b'^2 - 4ac}}{2a}$

2. 식을 정리하면,

   $x = \frac{-2b' \pm \sqrt{4(b'^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2b' \pm 2\sqrt{b'^2 - ac}}{2a}$

3. 우변을 2로 약분하면,

   $x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}$

따라서, 이 경우의 판별식은

로 나타낼 수 있다.