완전제곱식

완전제곱식

다항식 전체가 어떤 식의 제곱 형태로 묶이는 식.

부호에 따른 전개 형태

(앞항)² ± 2×(앞항)×(뒷항) + (뒷항)² 형태로 전개된다.

부호가 결정되는 위치는 가운데 항(2ax)뿐이며, 양 끝의 제곱항은 항상 양수다.

완전제곱식이 되는 조건

이차식 $x^2 + ax + b$ 가 완전제곱식이 되려면, 상수항 $b$ 가 일차항 계수의 절반의 제곱과 같아야 한다.

유도 과정

$(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$ 이므로, $x^2 + ax + b$ 와 비교하면:

• 일차항 계수 비교: $a = 2k \Rightarrow k = \dfrac{a}{2}$
• 상수항 비교: $b = k^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

예시

$x^2 + 6x + 9$ 에서 $a = 6$, $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 9$ 이므로 완전제곱식이다.
$\Rightarrow (x+3)^2$

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