나머지정리

나머지정리

다항식 $f(x)$를 일차식 $ax + b$로 나눈 나머지를 쉽게 구하는 공식

$f(x) = (ax+b)Q(x) + R$
$f(-\frac{b}{a}) = R$

유도과정

$f(x) \div (ax+b) = Q(x) ... R$
$f(x) = (ax + b)Q(x) + R$

$f(x) = (ax + b)Q(x) + R$은 $x$ 에 대해 항등식이 성립한다.
어떤 다항식을 일차식으로 나누는것 이기때문에, 나머지는 항상 상수이다.

$f(x) = (ax + b)Q(x) + R$은 $x$ 에 대해 항등식이기 때문에 어떤 $x$를 대입하던 성립한다.
$f(x) = (ax + b)Q(x) + R$에 $-\frac{b}{a}$을 대입하면, $(ax+b)$가 0이 되기 때문에, $R$밖에 남지않는다.

$f(-\frac{b}{a}) = \sout{(ax + b)Q(x)} + R$
$f(-\frac{b}{a}) = R$

인수정리

$f(a) = 0$ 일때, $f(x)$ 는 $(x-a)$를 인수로 갖는다.

유도과정

$f(x) = 3x^2 + 2x - 8$
$f(x) = (x+2)(3x - 4)$
$f(-2) = \cancel{(-2+2)(-6 - 4)} = 0$

인수정리를 이용한 인수분해

다항식 $P(x)$에 대하여, $P(a) = 0$이면 $P(x)$는 $(x-a)$를 인수로 갖는 사실을 이용하여 $P(x)$를 $0$으로 만드는 $x$를 찾아 인수분해한다.

$P(x) = x^3 -3x^2 - 10x + 24$
$P(2) = 8 -12 - 20 + 24 = 0$
$P(x) = (x-2)(x^2 + ax + b)$

다른 인수는 조립제법 혹은 계수비교법을 이용해 찾을 수 있다.

상수항 = $24 = -2b$
$b = - 12$
일차항 = $-10 = -12 -2a$
$a = -1$

$P(x) = (x-2)(x^2 - x - 12)$