역수의 합

$x + \frac{1}{x} = t$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$

유도과정

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2 = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2$
$x^9 + \frac{1}{x^9} = (x^3)^3 + (\frac{1}{x^3})^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3})^3 - 3(x^3 + \frac{1}{x^3})$

쓰임

2차항의 계수가 1이고 상수항이 1인 $x^2 +ax + 1 = 0$ 꼴인 이차식을 역수의 합으로 만들수 있다.

$x^2 + 4x + 1= 0$ // 이차식을 $x$로 나눈다.
$x + 4 + \frac{1}{x} = 0$
$x + \frac{1}{x} = -4$

$x + \frac{1}{x} = 4$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 14$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3(4) = 52$

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^2 + \frac{1}{x^5} + x + \frac{1}{x}$
$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x+\frac{1}{x})$
$x^5 + \frac{1}{x^5} =14 \times 52 - 4 = 724$

이렇게, 꼭 $x$의 제곱수가 2 or 3 의 배수가 아니더라도 역수의 합을 구할 수 있다.

$x^7 + \frac{1}{x^7} = (x^4 + \frac{1}{x^4})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})$