점과 점사이의 거리, 점과 직선사이의 거리

점($x_1,y_1$) 과 ($x_2,y_2$) 사이의 거리를 구하는 공식

유도과정

직선과 점 사이의 거리를 구하는 공식

직선 $ax + by + c = 0$ 과 점$(m,n)$의 거리는

$d= \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{}{a^2+b^2}}$

유도과정

직선 $ax + by + c = 0$ 과 점$(m,n)$ 이 수직으로 만나는 교점을 $(q,w)$ 라고 하면,

점$(q,w)$ 와 점$(m,n)$ 사이의 거리 = 직선 $ax + by + c = 0$ 와 점$(m,n)$의 거리

직선 $ax + by + c = 0$의 기울기는 $-\frac{a}{b}$ 이다.

직선 $ax + by + c = 0$ 과 수직으로 만나는 직선의 기울기는 $\frac{b}{a}$ 이다.
이 직선은 점$(q,w)$ 와 점$(m,n)$을 지나기때문에, 기울기 = $\frac{w-n}{q-m} = \frac{b}{a}$

$\frac{a(w-n)}{q-m} = b$
$a(w-n) = b(q-m)$
$\frac{a(w-n)}{b} = q-m$
$\frac{w-n}{b} = \frac{q-m}{a}$

그래서, $\frac{w-n}{b} = \frac{q-m}{a} = k$ 라고 해보면
$q - m = ak$ , $w - n = bk$ 라고 할수있으니,
점$(q,w)$와 점$(m,n)$의 거리인 $\sqrt{(q-m)^2 + (w-n)^2}$ 에 대입해보면

$\sqrt{(q-m)^2 + (w-n)^2}$
$\sqrt{(ak)^2 + (bk)^2}$
$\sqrt{a^2k^2 + b^2k^2}$
$\sqrt{k^2(a^2 + b^2)}$
$|k|\sqrt{a^2 + b^2}$

그래서, 점$(q,w)$와 점$(m,n)$의 거리는 $|k|\sqrt{a^2 + b^2}$로 표현할수있다.

점$(q,w)$ 는 직선 $ax + by + c = 0$ 위에 있는 점이기때문에,
$aq + bw + c = 0$ 도 성립한다.
$q - m = ak$ , $w - n = bk$ 가 성립하니 $q = ak + m$ , $w = bk +n$ 으로 표현할수있기에,

$a(ak+m) + b(bk+n) + c = 0$
$a^2k+am + b^2k+bn + c = 0$
$a^2k + b^2k = -am-bn-c$
$(a^2 + b^2)k = -am-bn-c$
$k = \frac{-am-bn-c}{(a^2 + b^2)}$
$k = \frac{-(am+bn+c)}{(a^2 + b^2)}$으로 표현할수있다.

두 점 사이의 거리가 $|k|\sqrt{a^2 + b^2}$ 라고 했으니,

$|\frac{-(am+bn+c)}{(a^2 + b^2)}| \times \sqrt{a^2 + b^2}$
$\frac{am+bn+c}{a^2 + b^2} \times \sqrt{a^2 + b^2}$
$\frac{(am+bn+c) \times \sqrt{a^2 + b^2}}{a^2 + b^2}$으로 표현할수있다.

$a^2 + b^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2$ 이여서,
$\frac{(am+bn+c) \times \sqrt{a^2 + b^2}}{(\sqrt{a^2 + b^2})^2}$ 에서 분모와 분자를 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 로 나누면,

$\frac{(am+bn+c)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 을 구할수있다.

평행한 두 직선의 거리

평행한 두 직선이 있다.

두 직선의 거리는 두 직선과 수직으로 만나는 무수히 많은 직선으로 알아낼 수 있다.

그래서, 한 직선에 속하는 임의의 점을 구한 뒤, 임의의 점과 다른 직선사이의 거리공식을 이용해 거리를 구할 수 있다.

점 $(0,-\frac{c'}{b})$ 과 직선 $ax + by + c = 0$의 거리를 공식으로 구하면,

이므로, 평행한 두 직선의 거리는 $\frac{|상수항의 차이|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 로 표현할 수 있다.