원의 방정식

원의 방정식

$(y - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$

원을 지나는 점 $(a,b)$와 원의 중심$(x,y)$의 거리는 $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$ 로 구할수있다.
원의 중심부터 지나는 점까지의 거리는 반지름$(r)$ 이기때문에, $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$ 으로 표현할수 있다. 양변에 제곱을 하여 표현하면 $(y - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$ 가 된다.

이차방정식 꼴로 나타낸 원의 방정식

원의 방정식인 $(y - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$을 이차방정식 꼴로 표현할수있다.
$(y - a)^2 + (x - b)^2 -r^2= 0$
$y^2 - 2ay + a^2 + x^2 -2bx + b^2 -r^2 = 0$
$x^2 + y^2 -2bx - 2ay +a^2 + b^2 -r^2 = 0$

원의 중심 찾기

$x^2 + y^2 +ax + by + c = 0$ 꼴인 이차방정식에서 중심 찾기
일차항의 계수에 $\frac{1}{2}$를 곱한뒤 마이너스를 붙이면 된다.
$x^2 + y^2 +ax + by + c = 0$인 원의 중심은 $(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$ 이다.

이차방정식이 원이 아닌경우

$(y - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$ 에서 $r^2$이 0 이거나 음수면 원이 아니다.
$(y - a)^2 + (x - b)^2 = 0$ 이라는것은, 중심인 점$(a,b)$ 에서의 반지름길이가 0을 의미한다.
그래서, $(y - a)^2 + (x - b)^2 = 0$ 이 방정식은, 평면좌표에서 $(a,b)$인 점을 나타낸다.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계는 점과 직선의 거리공식으로 구할수있다.
$(y - a)^2 + (x - b)^2 = r^2$인 원의 중심$(a,b)$ 와 직선 $y+mx+n=0$의 거리는
$d = \frac{|am + b + n|}{\sqrt{m^2+1}}$ 이다. $r$ 과 $d$의 대소관계에 따라, 위치관계를 알수있다.

1. 만나지 않는다.
   $d > r$
2. 접한다.
   $d = r$
3. 서로 다른 두 점에서 만난다.
   $d < r$