원의 접선의 방정식

원 $x^2 + y^2 = r^2$ 에 접하고 기울기가 $m$인 접선의 방정식

$y=mx \pm r\sqrt{m^2+1}$

유도과정

기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y = mx + b$
원의 중심$(0,0)$ 과 직선 $y = mx + b$의 거리가 $r$과 같으면 원과 직선은 접한다.
점과 직선의 거리공식으로 거리를 구하면, $\frac{|b|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ 이고 $r$과 거리가 같아야하니

$r = \frac{|b|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$r\sqrt{m^2 + 1} = |b|$

구해진 $b$를 직선의 방정식에 대입하면, $y=mx \pm r\sqrt{m^2+1}$ 을 얻을수있다.

원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점$(a,b)$에서의 접선의 방정식

$ax + by = r^2$

유도과정

원의 중심과 점$(a,b)$를 지나는 직선을 그린다.

내접원의 성질으로 이 직선과 접선은 수직으로 만난다.
직선의 기울기는 $\frac{b - 0}{a - 0}$ 이므로 $\frac{b}{a}$ 이고, 접선의 기울기는 $-\frac{a}{b}$ 이다.

일반형으로 표현하면, $ax + by + c = 0$ 인 일차함수를 구할수있다.
방정식에 직선위의 점 $(a,b)$를 대입하면 $a^2 + b^2 + c =0$

$c = -(a^2 + b^2)$ 이므로, $ax + by -(a^2 + b^2) = 0$ 이라는 일차함수를 얻을수있다.

점$(a,b)$는 $x^2 + y^2 = r^2$인 원 안에 있는 점이기에 $a^2 + b^2 = r^2$ 또한 성립한다.

그래서, $ax + by = r^2$ 를 구할수 있다.