합성함수, 역함수

합성함수

함수의 매개변수가 함수의 반환값인 함수

$f(x) = 3x + 4$ 를 매개변수로 받는 함수 $g(f(x))$
합성함수는 기호 $\circ$ 을 이용해 표현할수 있다.
$g(f(x)) = g \circ f(x)$

역함수

역함수란? 함수의 정의역$(x)$ 과 치역$(y)$가 바뀐 함수이다.

역함수는 $f^{-1}$ 로 표현한다.

$f(x) = y$ 의 역함수 $f^{-1}(y) = x$

역함수의 조건

일대일 대응인 함수만 역함수를 가질수 있다.

일대일 대응? 일대일 함수면서 정의역과 치역이 모두 일대일로 대응되는 함수

일대일함수? 각각의 정의역의 원소가 공역의 서로 다른 원소로 대응되는 함수

역함수를 구하는법

1. $y = -3x + 2$인 함수가 있다.
2. $y$ 와 $x$를 바꿔준다.
3. $x = -3y + 2$ 를 정리해준다.

   $3y = -x + 2$
   $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

4. $f(x) = -3x + 2 < = > f^{-1}(y) = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

함수와 역함수의 합성

함수와 역함수의 합성함수는 항등함수이다.

$f^{-1} \circ f(x) = x$

합성함수의 역함수

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$

유도과정

• 함수 와 역함수의 합성함수는 항등함수이다.
  그래서, $(f \circ g) \circ (f \circ g)^{-1}(x) = x$ 로 나타낼수있다.

  $(f \circ g) \circ (f \circ g)^{-1}(x) = x$
  $f \circ g \circ g^{-1} \circ f^{-1} (x) = x$
  $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$

역함수의 역함수

역함수의 역함수는 함수이다.

$(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)$

• 역함수와 역함수의 합성함수는 전혀 다른함수이다.

  $f^{-1} \circ f^{-1} \neq (f^{-1})^{-1}(x)$

역함수의 그래프

함수의 그래프는 역함수의 그래프와 직선 $y = x$를 기준으로 대칭한다.

• 기울기가 -1인 직선은 역함수 그래프와 완전히 일치함.

  함수의 그래프와 역함수의 그래프는 직선 $y = x$를 기준으로 대칭한다고했다. 기울기가 -1인 직선은 직선 $y = x$와 수직으로 접하는 직선이다. 그러므로 완전히 일치한다.