유리함수

유리함수는 다항함수와 분수함수로 구성된다.

다항함수는 1차함수,2차함수 등등이고
분수함수는 $y = 분수식$ 인 꼴이다.

분수식이란? 기약분수인 상태에서, 분모에 미지수$x$가 포함된 식이다.
일반적으로 $\frac{a}{x}$ 이런 형태이다.

분수함수는 쌍곡선의 형태를 가진다.

• 점근선: 점점 근접하는선

점근선과 쌍곡선의 관계

$x$의 값이 커질수록, $y$값은 작아져서 곡선은 점근선에 점점 근접하게 된다.
하지만 $x$값이 무한히 켜져도 곡선은 점근선과 접하지않는다.
$x$가 아무리 커져도 $y$가 0이 될수없기 때문이다

$y = \frac{a}{x}$ 그래프의 점근선의 교점은 (0,0)이다.

• $a$의 값이 커질수록 그래프와 점근선은 멀어진다.
  

분수함수의 평행이동

$y = \frac{3}{x}$인 분수함수의 점근선의 접점은 원점 $(0,0)$이다.
이 그래프를 x를 3만큼, y를 -2만큼 평행이동한다면, 점근선의 접점은 $(3,-2)$ 로 이동하고 함수는 $y = \frac{3}{x-3} - 2$ 가 된다.
즉, $y = \frac{3}{x-3} - 2$ 에서 분모를 $0$ 으로 만드는 $x$값이 접점의 $x$좌표가 되고, 상수가 $y$좌표가 된다.

통분된 식

$y = \frac{3x - 5}{x-3}$ 처럼 분수식이 통분된 상태로 나올수있다.
이때, 분모와 분자를 나눠 점근선의 접점의 $y$좌표를 얻을수 있다.
$3x - 5 \div x - 3$ 은 몫이 3이고, 나머지가 4이다.
그럼, $y = \frac{4}{x-3} + 3$ 으로 표현할수 있다.
$y = \frac{x+1}{2x-4}$ 처럼, 분모의 $x$계수가 분자의 $x$계수보다 큰경우에는 분모의 $x$계수가 $1$이 되도록 계산한후 나누면된다.
분모와 분자를 $2$로 나누면, $y = \frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}{x-2}$ 이 된다.
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \div x - 2$을 하면, 몫은 $\frac{1}{2}$, 나머지는 $\frac{3}{2}$ 이므로, $y = \frac{\frac{3}{2}}{x-2} + \frac{1}{2}$ 이므로, 점근선의 접점은 $(2,\frac{1}{2})$ 인것을 알수 있다.