이차함수

$y = ax^2$ 형태로 표현할수있는 식을 이차함수라고 부른다.

포물선 형태의 그래프가 그려진다.
$y = ax^2$ 의 형태의 이차함수는 $(0,0)$ 의 꼭짓점을 가지며, 이 점을 기준으로 대칭한다.
이차항의 계수의 절댓값에 따라 포물선의 폭이 결정되고, 절댓값이 클수록 포물선이 좁아진다.
이차항의 계수의 부호에 따라 모양이 달라진다.

이차함수의 평행이동

$y = ax^2$ 의 그래프를 $x$ 를 $m$만큼, $y$를 $n$ 만큼 평행 이동시킨다면, $(m,n)$의 꼭짓점을 갖고 그 점을 기준으로 대칭한다.꼭짓점의 $x$좌표를 대칭축의 방정식이라고 한다.

$x = m$

그리고, $y = a(x-m)^2 + n$ 이라고 표현할수있고,
이때, 최고차항(이차항)의 계수가 변하지않았음으로, 그래프의 폭이 일정하다.

이차함수의 꼭짓점 구하기

$y = ax^2 + bx+c$ 인 이차함수의 꼭짓점의 좌표는 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$ 이다.

유도과정

$y = ax^2 + bx+c$
$y = a(x^2 + \frac{bx}{a}) + c$
$y = a(x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}) + c$
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+ c$
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

이차함수와 이차방정식의 관계

일반적인 이차함수는 $y = ax^2 + bx + c$ 로 표현할수있고,
$y$에 0을 대입하면 $0 = ax^2 + bx + c$ 으로 이차방정식꼴이 된다.
이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 근이 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프의 두점이 된다. 근의 공식에 따라, $ax^2 + bx + c = 0$ 의 근은 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$이다.
그래서 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프는 $(\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0),(\frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},0)$의 점을 갖는다.

이차함수와 일차함수와의 관계

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ 와 일차함수 $y = mx + n$의 교점이 있는지 확인하려면, $ax^2 + bx + c = mx + n$ 으로 방정식을 세울수있다.
$ax^2 + bx + c -mx - n = 0$
$ax^2 + (b - m)x + c - n = 0$ 의 판별식에 따라 교점이 몇개 있지 알수있다.
$D = (b - m)^2 - 4a(c-n)$
$D = b^2 - 2bm + m^2 - 4ac + 4an$
따라서,

조건	설명
D > 0	서로 다른 두점에서 만난다.
D = 0	한점에서 만난다.
D < 0	만나지 않는다.

이차함수 그래프의 최댓값 과 최솟값

$y = ax^2 + bx + c$의 최솟값 과 최댓값은
$y = a(x - p)^2 + q$로 변형해서 구할수있다.

조건	설명
a > 0	최솟값이 q, 최댓값은 알수 없다.
a < 0	최댓값이 q, 최솟값은 알수 없다.