코시-슈바르츠 부등식

$a,b,x,y$가 실수일때, $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax +by)^2$ 이 성립한다.

유도과정

1. 식을 전개한다.
   $a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2 \ge a^2x^2 + 2axby + b^2y^2$
2. 모든 항을 좌변으로 이항하고 정리한다.
   $a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2 - (a^2x^2 + 2axby + b^2y^2) \ge 0$
   $a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2 - a^2x^2 - 2axby - b^2y^2 \ge 0$
   $\cancel{a^2x^2}+a^2y^2+b^2x^2+\cancel{b^2y^2} \cancel{- a^2x^2} - 2axby \cancel{- b^2y^2} \ge 0$
   $a^2y^2+b^2x^2 - 2axby \ge 0$
   $a^2y^2 - 2axby + b^2x^2 \ge 0$
3. 인수분해한다.
   $(ay - bx)^2 \ge 0$

   $ay = 실수, bx = 실수$ 이기때문에, $ay - bx$ 또한 실수이다.
   그래서, $(ay-bx)^2$는 0보다 크거나 같다.