크래머 공식(Cramer's rule)

크래머 공식이란?

크래머 공식은 가우시안 소거법처럼 연립방정식을 푸는 방법이다. 연립방정식을 행렬과 벡터의 곱으로 나타는 것(3강)을 잠깐 복기해보자.

위 식을 해석하면 아래와 같다.

• 선형변환한 결과로 기저벡터는 $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$에서 $\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$로 바뀌었다.
• 미지의 벡터 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$를 동일하게 선형변환하면 $\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$가 된다.
• 이 때 원본 벡터인 미지의 벡터 $\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$ 는 무엇이 되어야할까?

연립방정식을 풀기에 앞서 우리는 위 선형변환 결과로 공간의 차원이 줄어드는지 확인해야한다. 즉 $det(A) =0$인지 확인해야한다. $det(A)=0$이면 선형변환 전후로 대응되는 벡터는 1대 1 대응이 아니므로 해를 구할 수 없다.(7강 참고) 따라서 우리는 $det(A) \ne 0$를 가정한다.

직교행렬

그렇다면 본격적으로 크래머 공식을 설명하기 앞서 이렇게 접근해보자.

선형변환하여 $\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$가 되는 벡터는 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$를 선형변환하면 되지 않을까?(미지의 벡터를 먼저 구한 후 선형변환하자는 의미)

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좋은 생각이지만, 대부분의 벡ㅌ들은 선형변환 전/후로 내적의 결과가 매우 다르다. 아래 예를 보자
선형변환 전/후로 내적의 결과가 다르다는 단적인 예로, 선형변환 전에는 행렬식이 양수였지만, 선형변환 후에는 행렬식이 음수가 된다는 점이다.(공간이 뒤집힌 경우)

그런데 아주 특수한 경우, 변환 전/후의 내적이 보존되는 경우가 있다. 바로 직교변환이다. 직교변환은 그냥 공간이 시계방향(혹은 반시계방향)으로 회전만 하여 변환 후에도 두 기저벡터가 직교하는 상태를 말한다.

위 식을 만족하면 직교변환으로 판단한다.

(직교변환이 크래머 공식에 중요한 것은 아니지만, 위에서 소개한 접근방법은 크래머공식을 이해하는 좋은 접근방법이고, 그 방법 중 파생된 내용이기에 소개했다.)

크래머 공식을 기하학적으로 바라보기

평행사변형을 $\hat{i}$와 $\hat{j}$로 만드는 것이 아니라 $\hat{i}$와 $\overrightarrow{x}$로 만드는 것으로 생각해보자. 그렇다면 평행사변형의 넓이는 전적으로 $y$에 의해 결정된다. $\hat{i}$와 $\overrightarrow{x}$는 고정되어있기 때문이다.

선형변환을 하면 그 공간 안에 있는 모든 것들이 동일하게 $det(A)$만큼 확대/축소 되므로 선형변환한 평행사변형의 넓이는 $det(A)y$가 된다. 따라서 아래 식이 나온다.

그렇다면 선형변환 후 평행사변형의 넓이는 어떻게 될까?

평행사변형은 $\hat{i}$와 $\overrightarrow{x}$로 만들어졌기 때문에 선형변환 후에는 $T(\hat{i})$ $(=\begin{bmatrix}2\\0 \end{bmatrix})$와 $\begin{bmatrix} 4 \\2 \end{bmatrix}$로 만들어진다고 봐도 된다. 따라서 선형변환 후의 평행사변형 넓이는 $det(\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix})$로 구할 수 있다.

따라서 $y$를 구하기 위해 아래와 같은 식이 완성된다.

위와 같은 방법으로 $x$도 구할 수 있다.

크래머 공식에서 중요한 것은 변 하나를 고정시킨 후 선형변환 전 후의 행렬식을 구한다는 것이다!