※ 선형 변환을 시각적으로 보는 것이 이해하기에 더 좋았다. 따라서 강의를 보면서 살펴볼것(벨로그에는 이미지밖에 넣지 못하므로 단편적이라 선형 변환을 이해하기에 한계가 있음) → 강의 주소



지난 시간에는 선형 변환과 행렬에 대해 배웠다. 선형 변환은 공간을 일그러뜨리는 것이고 공간이 바뀜에 따라 그 안에 있는 벡터들의 모습도 바뀌게 된다. 바뀐 벡터들을 구하기 위해서는 그 공간의 단위가 되는 기저벡터를 구하면 된다.

행렬이란 선형 변환으로 바뀐 기저벡터들을 하나로 모은 것이며 공간의 변화 그 자체를 의미한다.

선형 변환의 중첩

선형 변환은 공간을 변형시키는 것을 의미한다고 했다. 그렇다면 선형 변환은 무조건 한 번만 가능할까? 두 번, 세 번, 혹은 그 이상 선형 변환을 하는 것은 불가능할까?

물론 가능하다! 선형 변환은 행렬로 표현하고, 여러 번 선형 변환을 한 결과는 행렬의 곱으로 표현한다. 예를 들어 보자.

[ 선형 변환 예시 ]
반시계 방향으로 90도 회전하는 선형 변환 후에 압축하는 선형변환을 할 때 어떻게 표현할까? 초록색 화살표가 $\hat{i}$, 빨간색 화살표가 $\hat{j}$

두 선형 변환의 결과는 아래와 같다.

그런데 이렇게 하나의 행렬로 쓰면 두 번에 걸친 선형 변환이 제대로 표현되지 않는다. 따라서 선형 변환 순서대로 쓰면 아래와 같다.

주의할 것은 먼저 진행한 선형 변환을 오른쪽에 써줘야 한다는 것이다! (벡터에 선형변환을 하면 행렬을 왼쪽에, 벡터를 오른쪽에 써주듯 선형변환 해주는 대상을 오른쪽에 써야한다. 위의 예에서는 90도 회전한 결과가 압축 하는 선형 변환의 대상이 되므로 오른쪽에 써야한다.)

행렬의 곱 일반화

예를 들어 아래와 같은 행렬이 있다고 하자.

M1, M2 순서대로 선형 변환을 한다고 하면 아래와 같이 써줄 수 있다.(M1을 먼저 진행했으므로 오른쪽에 써준다.)

그리고 M1은 두 기저벡터 $\hat{i},\;\hat{j}$로 나눌 수 있다.

$M2$도 기저벡터 두 개로 나눌 수 있지만, 행렬곱을 행렬과 벡터의 곱으로 만들기 위해서 $M1$만 두 개의 기저벡터로 나누었다. 따라서 $M2\;•\;M1$ 연산은 $\hat{i}$과 $\hat{j}$를 나눠서 쓸 수 있다.

마지막으로 $M2 • M1$의 결과는 바뀐 기저벡터를 하나의 행렬로 만들어주면 된다.

이 연산이 가능한 이유는 행렬이 각각의 벡터로 나누어질 수 있기 때문이다. 연속된 선형 변환, 즉 행렬의 곱은 행렬과 벡터의 곱으로 나누어 생각하면 쉽게 구할 수 있다. 위의 과정을 일반화하기 위해 문자를 사용하면 아래와 같다.

행렬 A와 행렬 B가 있다고 하자.(A라는 선형 변환, B라는 선형변환) 그 때 선형 변환 하는 순서가 달라지면 전혀 다른 공간이 되므로 같은 선형 변환을 줬다고 하더라도 순서에 따라 결과가 완전히 달라질 수 있다. 따라서 아래 수식이 성립한다.

Summary

선형 변환은 두 번 이상 여러 번 진행할 수 있다. 선형 변환을 여러 번 진행할 경우 행렬의 곱 형태로 표현한다. 행렬의 곱은 행렬과 벡터의 곱으로 나누어 생각할 수 있다.(우리가 이미 알고 있던 행렬의 곱 공식은 행렬과 벡터의 곱으로 나눈 후 계산한 결과를 일반화 한 식이었다..!)

중요한 것은 행렬은 공간의 변형(=선형 변환)을 의미하고, 선형 변환은 순서에 따라 그 결과가 완전히 다르다.

Quiz

행렬의 곱은 아래 식이 성립한다.

행렬 A, B, C에 대하여, $A(BC) = (AB)C$

왜 그럴까?

정답은 선형 변환은 (오른쪽부터)순서대로 이루어 지는데, 좌변이던 우변이던 선형 변환 순서는 C→B→A인 것이 변함이 없기 때문에 두 결과는 같다.

※ 출처 : 3Blue 1Brown - Essence of linear algebra
https://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=5