의미
정사각형 모양의 행렬(정방행렬)에 대해 하나의 수(스칼라 값)을 대응시키는 함수이다.
행렬에 대한 수치적 요약값이며, 행렬이 가지는 기하학적 특성과 연산 가능성을 알려주는 지표이다.
예를 들어, 2×2 행렬의 행렬식의 절댓값은 두 벡터가 만드는 평행사변형의 면적이고, 3×3 행렬의 행렬식의 절댓값은 평행육면체의 부피이다.
계산 방법
1. 2×2 행렬식
- 두 대각선의 곱을 뺀다.
A=[acbd]
det(A)=ad−bc
2. 3×3 행렬식
사루스(Sarrus) 법칙: 3x3 행렬에서만 사용 가능하다. 첫 두 열을 행렬 오른쪽에 덧붙이고, 대각선 방향의 곱을 더하고, 반대 대각선 방향의 곱을 뺀다.
또는 여인수 전개(라플라스 전개)로 계산할 수 있다.
A=⎣⎢⎡adgbehcfi⎦⎥⎤
det(A)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh
3. n×n 행렬식 (가우스 소거법을 이용한 상삼각행렬화)
아이디어
- 행렬을 상삼각 행렬로 변형 (아래쪽 원소를 0으로 만들기)
- 행 교환 횟수를 기억
- 마지막에 대각선 원소의 곱 × (−1)교환 횟수
예시 : 3x3 행렬
A=⎣⎢⎡2−3−21−11−122⎦⎥⎤
Step 1: 첫 번째 열을 기준으로 아래 두 행 소거
목표: 첫 열의 아래 두 원소(-3, -2)를 0으로 만들기
R₂ ← R₂ + (3/2) × R₁
R2←[−3,−1,2]+(1.5)×[2,1,−1]=[0,0.5,0.5]
R₃ ← R₃ + R₁
R3←[−2,1,2]+[2,1,−1]=[0,2,1]
결과:
⎣⎢⎡20010.52−10.51⎦⎥⎤
Step 2: 두 번째 열을 기준으로 아래 한 행 소거
목표: 두 번째 열의 R₃를 0으로 만들기
R₃ ← R₃ − (2/0.5) × R₂ = R₃ − 4 × R₂
R3←[0,2,1]−4×[0,0.5,0.5]=[0,0,−1]
결과:
⎣⎢⎡20010.50−10.5−1⎦⎥⎤
Step 3: 대각선 원소 곱
det(A)=2⋅0.5⋅(−1)=−1
※ 행 교환이 없었기 때문에 부호 반전도 없다.
행 교환이 발생할 경우
만약 중간에 피벗 원소가 0이라서 행 교환이 필요했다면
- 교환 횟수 = k
- 행렬식 = (−1)k× (대각선 곱)
예를 들어, 한 번 교환 → 부호 반전
두 번 교환 → 원래 부호 유지
