Medical Image Segmentation - Active shape model

1. Active Shape Model

왼쪽 그림은 test data, 오른쪽 그림은 training data이다. Active shape model은 training data의 각 point들의 distribution을 학습하는 방식이다.

Active contour model로 test data의 boundary를 좁혀나가며 shape을 따낼 때 active shape model이 갖고 있는 각 point들의 distribution을 활용해 보정한다.

이 때, shape의 distribution을 학습하기 위해 사용되는 기법이 PCA이다.

2. Model Construction

왼쪽 그림을 보면 training data에서 각각 대응되는 point들 $v_j^{(1)},\ v_j^{(2)},\ \ldots,\ v_j^{(m)}$가 있다.

먼저 shape을 오른쪽 그림과 같이 center point를 기준으로 align한다. 그리고 각각 대응되는 point마다 distribution을 학습한다. 학습 과정은 PCA와 유사하며 다음과 같다.

• Data normalization

  $\bar{x}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mx^i$

  training data $x$의 전체 평균을 구한다.

• Compute covariance matrix

  $dx^i=x^i-\bar{x}$

  training data $x^i$의 $dx^i$를 구하는 식이다. 이를 통해 평균을 0으로 normalization 해준다.

  $C=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(dx^i)(dx^i)^T$

  $dx$의 covariance matrix $C$를 구한다.

• Compute eigenvectors of matrix

  $C\vec{e}=\lambda\vec{e}$

  SVD로 covariance matrix $C$에 대한 eigen vector, eigen value를 구한다.

  $U=[u^1,\ \ldots,\ u^n]$

• Compute principal components

  $b^i=U_{reduce}^T(x^i-\bar{x})$

  일부 eigen vector를 가져와 PCA를 계산해 $b^i$를 얻는다.

  $dx^i=U_{reduce}b^i$

  $b^i$에 다시 $U_{reduce}$를 곱해 복원한다.

  $x^i=\bar{x}+dx^i$

  $dx^i$를 $\bar{x}$에 더함으로 $x^i$를 업데이트한다.

  학습 결과 학습된 $U_{reduce}$를 얻게 된다.

3. Test

먼저 위 그림과 같이 $\bar{x}$를 통해 초기 mean shape을 구하고 active contour model과 같은 알고리즘으로 적절한 위치로 배치 시킨다. 그리고 shape의 point $y$를 active shape model로 업데이트 한다. 업데이트 된 $y$에 다시 active shape model을 적용해 업데이트하며 최적의 $y$를 구해나가는 과정을 반복한다.

$b=U_{reduce}^T(y-\bar{x})$

$x=\bar{x}+U_{reduce}b$

Active shape model은 point들의 distribution을 고려해 업데이트한다는 장점이 있지만 training data에서 matching되는 point를 찾는 것이 어렵다는 단점이 있다.