[통계] 스튜던트의 t분포

hyun·2022년 8월 13일

통계

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📚 t 분포란?

💡 $t$ 분포는 정규분포와 생김새가 비슷하지만, 꼬리가 더 두껍고 길다는 차이점이 있다.
💡 표본평균을 이용해서 정규분포의 평균을 해석할 때 많이 사용한다.
💡 가설검정이나 회귀분석에도 많이 쓰인다고 한다.
💡 좌우 대칭이다.

🧐 모분산 없이 표본평균의 분포를 알아보자 ?!

모집단이 정규분포를 따를 때, 표본평균은 $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ 을 따르게 된다.
다만 이 때 표본의 수가 정말 많다면 어차피 모분산 $\sigma^2$ 의 영향력이 없다시피 하겠지만, 표본 수가 작을 때는 모분산을 정확히 알기 어려우므로 문제가 생긴다. 정규분포의 모양을 특정하기도 어렵고, 전반적인 정규분포를 이용한 검정이 그 신뢰도를 잃게 된다.

이를 보완하기 위해 정규분포와 형태가 비슷하지만 모분산 항을 포함하지 않고, 대신 표본분산을 쓰는 분포를 고안했고 그것이 바로 💡t 분포 되시겠다.

모분산이 쓰이지 않고 표본분산만 쓰인다.

출처 : https://m.blog.naver.com/mykepzzang/220853827288

👨‍🏫 t분포의 자유도

출처 : KHUDA 구태형 선생님 ㅎ ㅎ

$t$ 분포의 $t$ 는 자유도를 뜻한다. 자유도는 표본의 수와 연관성이 있다.
위 사진처럼 자유도가 커질수록 그래프는 표준정규분포와 비슷해지고, 자유도가 적어지면 그래프는 점점 옆으로 퍼진다.
이는 $t$ 분포가 표본의 수가 많아질수록 정규분포와 비슷해진다고 해석할 수 있다. 보통은 $t > 30$ 이면 정규분포에 근사한다고 한다

t-검정

💡 모양

$t$ 분포는 정규분포에 비해 꼬리가 두껍고 길다. 이는 검정에 관점에서 바라봐야 한다.

📚 정규분포의 경우, 중심에서 조금만 벗어나도 결과가 크게 달라질 수 있다.
💡 But $t$ 분포의 경우, 꼬리가 두껍고 길다=데이터가 중심에 쏠려있지 않다 이므로 중심에서 벗어나도 상대적으로 안전하다.

위 그림은 좌우 각각 2.5%의 데이터를 색칠한 그림이다. $t$ 분포의 경우 데이터가 훨씬 사이드로 퍼져있지만, 표준정규분포의 경우 그렇지 않다는 것을 알 수 있다.
🧐 표준정규분포로 해석했을 때는 중심에서 2만 벗어나도 결과가 달라질 것이지만,
💡 $t$ 분포로 해석한다면 중심에서 3 벗어나도 결과가 동일할 것이다.
이러한 결과를 '보수적 검정' 이라고 표현하는데, 아무래도 안전빵같은 느낌이라서.