동일한 2차원의 벡터 w와 v 가 있다고 가정해 봅시다.
벡터의 외적은 두 벡터를 서로 평행하게 이동시켜 서로를 맞닿게하여 그릴 수 있는 평행사변형(parallelogram)의 면적과 같습니다. 그리고 수식으로는 다음과 같이 ×로 표현합니다.
w×v=Area of parallelogram
그리고 면적을 의미하지만 외적의 결과값은 스칼라가 아니라 또다른 벡터입니다. 즉 부호가 존재합니다. 외적을 수행하는 벡터의 상대적 순서에 따라 부호는 달라집니다. 연산을 수행하는 앞에있는 벡터 (여기서는 w)에서 뒤에있는 벡터(여기서는 v)로 시계반대방향(count-clockwise)으로 이어지면 면적은 양의 값을 가지고, 시계방향(clockwise)이면 뒤집어진 것으로 간주하여 면적은 음의 값을 가집니다.
w×v=−v×w
Determinant
깊은 이해를 위해 선형대수학에서 행렬의 판별식(Determinant)의 의미를 간단하게 먼저 살펴보겠습니다.
어떤 선형변환을 위한 2*2 매트릭스 A가 있다고 가정할때, det(A)의 값에 따라 2개의 기저벡터가 변환되었을때의 상대적인 크기(scale)가 결정됩니다.
예를 들어보겠습니다.
A=[2134]
det(A)=2∗4−3∗1=5
위와 같이 det값이 5가 나온다면 기존 기저벡터 i^ 과 j^이 차지하던 면적에서 선형변환 후 차지하는 기저벡터간 면적이 5배 커진다는 의미입니다.
다음 예는 어떨까요?
A=[210−1]
det(A)=2∗(−1)−0∗1=−2
det값이 음수가 나온다는 것은 선형변환의 결과로 gridline이 뒤집힌다는 말입니다. i^new 과 j^new이 어디로 도달하는지를 생각해 봅시다. j^new이 [0,1]T 에서 [0,−1]T로 이동할 때 좌표계가 뒤집히게 됩니다. 종이의 앞면과 뒷면을 상상하면 맞습니다.
다만 면적 자체 스케일은 절댓값으로 2배 커지게 됩니다.
마지막으로 다음 예를 봅시다.
A=[2142]
det(A)=2∗2−4∗1=0
det값이 0이 나온다는건 차원이 하나이상 축소된다는 의미입니다.
선형결합의 관점에서 보아도 i^new 과 j^new가 linearly dependent하므로 2차원 벡터가 1차원으로 뭉개지게 될 것을 추측할 수 있습니다.
Standard Interpretation
이에서 벡터의 외적은 두 벡터로 이루어지는 평행사변형의 면적이라고 했고, determinant도 매트릭스의 기저벡터로 이루어지는 면적의 스케일링을 결정한다고 했습니다.
따라서 벡터의 외적은 다음과 같은 수식으로 일단은 표현해볼 수 있습니다.
w×v=det([w1w2v1v2])
이해가 되시나요?
하지만 외적의 정확한 정의는 이것이 아닙니다.
맨 처음 외적의 결과 값은 또다른 벡터라고 얘기했었습니다.
이를 다음과 같이 표현해봅시다.
w×v=p
정확히 얘기하자면 좀 전에 det로 구한 숫자는 벡터 p의 크기입니다.
방향은 어떻게 될까요? 여기서 차원이 올라갑니다.
방향은 w 와 v가 그리는 평행사변형(즉 2차원의 평면)의 수직(perpendicular)을 이루어 뚫고 나오는 방향이 됩니다.
정리하면 다음과 같습니다. 외적의 결과 p는,
크기 : determinant
방향 : perpendicular of parallelogram
의 성질을 가지는 벡터가 됩니다.
그럼 이를 포괄하는 수식은 어떻게 될까요?
다음과 같이 3차원(랭크)으로 작성되어야 합니다.
