3D Geometry Study_Week1(Transformation)

kimkj38·2022년 1월 20일
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3D Vision

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Transformation

Notation

  • 주어진 영상에 특정 알고리즘을 적용하여 변환된 이미지를 얻어내는 것.

DoF란?

  • 자유도(Degree of Freedom)로 물체의 위치와 상태를 나타내기 위해 필요한 변수의 개수를 의미한다.

Rigid Transformation(강체 변환)

  • Euclidean transformation이라고도 하며 형태와 크기를 유지한 채 위치와 방향만 바뀔 수 있는 변환을 의미한다.
  • Rotation & Translation are not commutative
    -> 회전 후 평행이동하는 것과 평행이동 후 회전하는 것은 다르다

Rotation

  • (x,y)(x,y)를 반시계 방향으로 θ\theta 라디안(radian)만큼 회전시키는 변환
  • 변수가 θ\theta뿐이므로 DoF는 1이 된다.
  • 회전 행렬은 [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}[01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}의 기저벡터로 이루어진 좌표계를 [cosθsinθ]\begin{bmatrix} cos\theta \\ sin\theta \end{bmatrix}[sinθcosθ]\begin{bmatrix} -sin\theta \\ cos\theta \end{bmatrix}의 기저벡터로 이루어진 좌표계로 바꿔준다.

Translation

  • (x,y)(x,y)dx,dydx, dy만큼 평행이동
  • dx,dydx, dy를 변수로 가지므로 DoF가 2이다.

Similarity transformation(닮음 변환)

  • Rigid transform에 스케일 변화까지 허용되는 변환
  • Rotation, Translation, Scale change의 변수들로 구성되므로 DoF는 4이다.
  • 3D에서는 Rotation과 Translation의 DoF가 각각 3이 되어 7의 자유도를 가지게 된다.(3D에서는 회전은 x,y,z축을 기준으로 하여 3가지의 θ\theta가 필요하기 때문)

Scale change

  • λ\lambda를 변수로 가지므로 DoF가 1이다.

Affine transformation

  • Similarity transform에 shearing, 반전(reflection)까지 허용되는 변환
  • 직선, 길이(거리)의 비, 평행성을 보존한다.
  • 자유도는 6이다.

Projective=Homography transformation(원근변환)

  • 3D공간에서 2D 공간으로 투영하거나, 서로 다른 두 평면 간의 매핑 관계를 모델링하기 위한 변환
  • 자유도는 8이다. 9가 아닌 이유는 (x,y,1),(wx,wy,w)(x,y,1), (wx',wy',w)이 homogeneous 좌표이므로 scale을 결정할 수 없기 때문

Homogeneous coordinate란

  • n차원의 사영공간을 n_1개의 좌표로 나타내는 좌표계
  • (1w,2w,3w,w)=(1,2,3,1)=(2,4,6,1)(1w,2w,3w,w) = (1,2,3,1) = (2,4,6,1)는 전부 3차원의 (1,2,3)(1,2,3)좌표와 동치이다, 따라서 스케일은 무시하게 된다.
  • Tranlation은 벡터의 덧셈으로 표현하므로 하나의 matrix로 표현할 수가 없다. 예를 들어, affine transformation은 X=MX+TX' = MX+T로 표현된다.
  • 하지만 Homogeneous 좌표를 사용하면 아래와 같이 하나의 matrix로 표현할 수 있다.
  • 따라서, w가 0일 때는 translate를 하지 않으며 1일 때는 translate를 하게 된다.

Linear transformation(선형변환)

  • 벡터의 위치는 변하지 않고 방향과 크기만 변하는 변환
  • 함수 f에 대해 f(au+v)=af(u)+f(v)f(au+v) = af(u)+f(v)라는 선형성을 만족
  • Rotation, Scale change, shearing 등이 전부 선형변환에 속한다.

Conclusion


Materials

Reference

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