3D Geometry Study_Week4(Calibration)

kimkj38·2022년 3월 4일
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3D Vision

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Cholesky decomposition

  • LU분해는 위 그림과 같이 lower trianguler matrix와 upper triangular matrix로 분해하는 것을 의마한다.
  • A=LUA=LU에서 AA가 symmetric matrix라면 A=ATA=A^T이므로 A=LLT=LTLA=LL^T=L^TL과 같은 형태로 분해하여 LU분해와 같은 형태를 만드는 것을 생각해볼 수 있다.
  • 단, 이 때 AA는 semi-positive definite 행렬이어야 한다.
    • 행렬 LL과 임의의 벡터 xx의 곱 LxLx의 L2-norm은 항상 0 이상의 값을 가진다.
    • Lx2=(Lx)T(Lx)=xTLTLx|Lx|^2 = (Lx)^T(Lx)=x^TL^TLx로 표현할 수 있고 LTLL^TL을 행렬 AA라고 하면 xTAx0x^TAx \ge0이 된다.
    • 위와 같은 성질을 만족할 때 semi positive definite 행렬이라 하므로 AA의 조건이 된다.

Calibration

  • World coordinate system을 xy plane의 체크보드의 코너로 설정하여 Z=0Z=0이 된다.
  • 따라서, Z축에 대한 rotation parameters와 Z는 제거할 수 있으며 이 경우 완전한 rotation matrix가 아니므로 QR분해를 통해 DLT를 할 수 없다.
  • Homography HH는 scale을 제외한 8개의 DoF를 가지므로 4개의 쌍의 매칭점이 필요하다.

  • [h1,h2,h3]=K[r1,r2,t][h_1,h_2,h_3]=K[r_1,r_2,t]로부터 K1[r1,r2,t]=[h1,h2,h3]K^{-1}[r_1,r_2,t]=[h_1,h_2,h_3]가 되므로 식1을 얻을 수 있으며 r1r_1r2r_2가 orthonormal하므로 식2를 얻을 수 있다.
  • 위 식들로부터 알고 있기 때문에 계수로 볼 수 있는 hh와 모르는 파라미터로 이루어진 KK에 대한 두 개의 방정식을 얻을 수 있으며 KTK1K^{-T}K^{-1}BB로 치환한다.
  • BB는 symmetric and positive definite matrix이므로 cholesky decomposition이 가능하며 따라서 BB를 알면 KK를 계산할 수 있다.

  • 위의 두 제약식을 vvbb에 대한 식으로 정리할 수 있다.
  • 이미지가 n개 일 때 2n×62n \times 6의 matrix VV가 나오며 Vb=0Vb=0을 SVD를 통해 풀어 bb를 구한다.

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