3D Geometry Study_Week4(DLT)

kimkj38·2022년 3월 2일
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3D Vision

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Direct Linear Transformation(DLT)

Estimating the Parameters of P

  • World 좌표계로부터 image plane 상의 2D point를 구하기 위해서는 5개의 intrinsic parameters와 6개의 extrinsic parameters가 필요하다.
  • 하나의 매칭쌍으로부터 2개의 식이 도출되므로 최소 6쌍의 매칭점이 필요하다.

  • 행렬 PP의 각 행을 A,B,CA,B,C 벡터로 치환하고 식을 풀면 A,B,CA,B,C에 대한 선형식을 얻을 수 있다.

  • A,B,CA,B,C를 stacking하여 12x1의 열벡터 pp로 만들어주고 선형식의 계수에 해당하는 부분을 axiT,ayiTa_{x_i}^T, a_{y_i}^T로 표기한다.
  • II개의 매칭쌍을 stacking하여 표기하면 2I×122I \times 12의 행렬 MM으로 나타낼 수 있으며 Ax=0Ax=0의 형태가 나와 SVD를 통해 풀 수 있다.

  • 하지만 우변은 오차들로 인해 0이 아니 ww값을 가지게 되며 따라서 우리의 목표는 wTww^Tw를 최소화하는 pp를 찾는 것이 된다.
  • SVD를 통해 MM을 분해하며 singular value는 내림차순으로 정리되어 있으므로 가장 작은 singular value를 가지는 v12v_{12}wTww^Tw를 최소화하는 벡터가 된다.

Decomposition of P

  • H=KR,h=KRXOH=KR, h=-KRX_O로 정의하면 P=[Hh]P=[H|h]로 표현되며 XOX_O 또한 두 식의 연립으로 H1h-H^{-1}h로 구할 수 있다.
  • KK는 upper triangular matrix이고 RR은 orthogonal matrix이므로 QR분해를 활용할 수 있으나 두 matrix의 순서가 반대되므로 변형식이 필요하다.
  • K1K^{-1}R1R^{-1} 모두 upper triangular과 orthogonal이라는 특성을 유지하므로 H1H^{-1}를 QR분해하여 KKRR을 도출할 수 있다.

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