선형대수학을 공부했던 내용을 정리하고 기록하려고 합니다. 제가 이해했던 것들을 위주로 적기 때문에 틀리거나 부정확한 것들이 있을 수 있습니다. 😢

Linear dependence와 independence 구별

선형 독립과 선형 종속

흠,,, 말그대로 독립되어 있는지 종속되어 있는지에 대해 말하는거겠지? 하며 생각했었습니다. 선형종속, 선형독립에 대한 정의를 찾아보면

n개의 벡터 $v_1,v_2,...,v_n$개에 대해 $\sum^n_{i=1}c_iv_i=0$ 을 만족하는 상수 $c_1,c_2,...c_n$이 모두 $0$이면 선형 독립이다.
$0$이 아닌 $c_i$가 존재하면 선형 종속이다.

처음 봤을 때 저는 쉽게 와닿지 않는 문장이였고, 저는 같은 차원에 존재하는 값이 하나 이상이라면 종속이라고 생각했습니다.

예를들어,
2차원 공간에 $v_1=$$\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$ , $v_2=$$\begin{bmatrix} 0\\5 \end{bmatrix}$ 같은 경우에 $c_1=0,c_2=0$, 이외에도 $c_1=-5 ,c_2= 1$ 이거나 $c_1=5, c_2=-1$인 경우에도 $\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$을 만족할 수 있으니까 존재하지 않으면 되구나 했습니다!

Ax = b  해가 존재할 때, 해가 여러개 존재한다면 Linear dependence, 해가 하나만 존재한다면 Linear independence

Span과 Basis

Span은 주어진 벡터로 만들 수 있는 가능한 공간.
Basis는 주어진 공간에서 만들 수 있는 가능한 벡터

공부하면서 가장 헷갈렸던 것이 Basis vectors와 Unit vectors였습니다.
Unit vectors(단위벡터)는 단위 길이가 1인 벡터를 말합니다.
Basis vectors는 $R^2$의 경우
$\begin{bmatrix} x\\0 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 0\\y \end{bmatrix}$ 와 같은 유사한 모양이라면 Basis vectors이 될 수 있어요!

🌟 Rank

선형대수학에서 가장 중요한 개념입니다!

Rank

In linear algebra, the rank of a matrix A is the dimension of the vector space generated (or spanned) by its columns.

위키피디아에서 정의한 rank입니다.
A 매트릭스의 span이 가능한 개수라고 생각할 수 있습니다.
row나 column이나 indepent한 차원의 개수!

$e.g.$
$A^{2,3}$ rank = 1, >> rank deficiency
$A^{2,3}$ rank = 2, >> full row rank
$A^{3,2}$ rank = 2, >> full column rank
$A^{3,3}$ rank = 3, >> full rank