통계 (2)

1-3 확률이론 - 확률

• 확률: 모든 경우의 수에 대한 특정 사건이 발생한는 비율
• 확률의 고전적 정의: 그것이 일어날 수 있는 경우의 수 대 가능한 모든 경우의 수의 비
• 표본 공간: 어떤 실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합

1. 확률의 성질

• 합사건: 사건A 또는 사건B가 일어날 확률
• 곱사건: 사건A와 사건B가 동시에 일어날 확률
• 배반사건: 사건A와 사건B가 동시에 일어날수 없는 경우
• 여사건: 사건A가 일어나지 않을 확률

1) 확률의 덧셈법칙

2) A와 B가 배반사건이면

3) A의 여사건이 $P(A^c)$ 이면

2. 조합과 순열

• !(factorial): n개를 일렬로 늘여 놓은 경우의 수는 $n!$
• 순열(permatation): 순서를 고려하여 n개 중 r개를 뽑아서 배열하는 경우의 수
• 조합(combination): 순서를 고려하지 않고 n게 중 r개를 뽑아서 배열하는 경우의 수
• 조건부 확률: 어떤 사건 A가 발생한 상황에서 또 하나의 사건 B가 발생할 확률
• 확률의 곱셈법칙: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B | A) = P(B) \times P(A | B)$
• 베이즈 정리 : $P(B | A) = \frac{P(A | B) \cdot P(B)}{P(A)}$

1-4 확률이론- 확률변수

• 확률 변수: 표본 공간에서 각 사건에 실수를 대응시키는 함수
  -> 하나의 사건에 대하여 하나의 값을 가지며, 실험의 결과에 의하여 변함
  -> 일반적으로 확률 변수는 대문자, 확률변수의 특정값을 소문자로 표현

• 확률 변수의 평균(기대값): $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(x_i) = x_1 P(x_1) + x_2 P(x_2) + \cdots + x_n P(x_n)$

• 확률변수의 분산: $$
  \text{Var}(X) = \frac{1}{N} \sum (x_i - \mu)^2

  $$

• 기대값의 성질
  -> a,b 가 상수이고, X, Y를 임의의 확률 변수라고 할 때
  1) $E(a) = a$
  2) $E(aX) = aE(X)$
  3) $E(aX + b) = aE(X) + b$
  4) $E(aX \pm bY) = aE(X) \pm bE(Y)$
  5) ( X, Y )가 독립일 때 $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

• 분산의 성질
  -> a,b 가 상수이고, X, Y를 임의의 확률 변수라고 할 때
  1) $\text{Var}(a) = 0$
  2) $\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)$
  3) $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y)$
  4) $\text{Var}(aX \pm bY) = a^2 \text{Var}(X) \pm b^2 \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y)$
  5) ( X, Y )가 독립일 때 $\text{Var}(XY) = 0$
  6) $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

• 공분산: 2개의 확률변수의 선형 관계를 나타내는 값

  $\text{Cov}(X, Y) = E\left[(X - E(X))(Y - E(Y))\right] = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})}{n - 1}$

이 글은 제로베이스 데이터 취업 스쿨의 강의 자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다