5-1. 대각화

1.대각화 $diagonalization$은 무엇인가?

• 대각화란 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$가 주어졌을 때 $[T]_\beta$가 대각행렬이 되도록 하는 $V$의 순서기저$\beta$를 찾는것이다
• 대각화 문제는 두 개의 물음을 갖는다
  - $[T]_\beta$가 대각행렬이 되도록 하는 순서기저 $\beta$가 존재하는가? : 이 질문은 6장에서 답을 얻는다
  - 유한차원 복소내적공간 $V$가 있다 하자. $V$의 정규연산자 $T$가 대각화 가능하다
  - 유한차원 실내적공간 $V$가 있다 하자. $V$의 자기수반연산자 $T$는 대각화가능하다
  • 이러한 기저가 존재한다면 어떻게 찾을 수 있는가?

1-2. 용어

대각화가능 $diagonalizable$

• 조건
  • 유한차원 벡터공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$에 대하여
• 정의
  • $[T_\beta$가 대각행렬이 되도록하는 $V$의 순서기저 $\beta$가 존재한다면 선형연산자 $T$는 대각화 가능 하다고 한다
  • $L_A$가 대각화가능할 때, 정사각행렬 $\boldsymbol{A}$는 대각화가능 하다고 한다

고유벡터 $eigenvector$ / 고유값 $eigenvalue$

• 조건
  • 벡터공간 $V$ 선형연산자 $T$가 있다고 하자
  • $non-zero$ 벡터 $v\in V$가 존재하고 어떤 스칼라 $\lambda \in F$가 존재하여 $T(v)=\lambda v$를 만족시킨다고 하자
• 정의
  • $non-zero$ 벡터 $v$를 $T$의 고유벡터라고 정의한다
  • $\lambda \in F$를 고유벡터 $v$에 대응하는 고유값이라고 정의한다
• 조건
  • $\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{M}_{n \times n }(F)$가 있다고 하자
  • $non-zero$ 벡터 $v \in F^n$가 존재하고, 어떤 스칼라 $\lambda \in F$가 존재하여 $\boldsymbol{A}v=\lambda v$를 만족시킨다고 하자
• 정의
  • $non-zero$ 벡터 $v$는 $L_A$의 고유벡터이자 $\boldsymbol{A}$의 고유벡터라고 정의한다
  • $\lambda \in F$를 고유벡터 $v$에 대응하는 고유값이라고 정의한다

특성다항식 $characteristic\,\,equation$

• 관련 정리
  • 정리
    - 행렬$\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{M}_{n \times n}(F)$에 대해 스칼라 $\lambda$가 $\boldsymbol{A}$의 고유값이기 위한 필요충분조건은 $det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0$ 이다
  • 증명
    - $\boldsymbol{A}v=\lambda v$를 만족하는 $non-zero$ 벡터를 먼저 찾는다고 하자
    - ($\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})v=0$ 이다. 이때 ( 1과 2는 기본적으로 동치인 명제, 1과 3는 차원정리에 의해 동치명제로 1,2,3 모두 동치인 명제가 된다)
    1. $\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I}$ 가 역행렬이 존재하지 않음
    2. $det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0$
    3. $v$가 $non-zero$ 벡터이다
    - 따라서 $det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0$ 이면 $v$가 $non-zero$ 벡터이다와 필요충분조건이다
  • 정의
    - 행렬 $\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{M}_{n \times n}(F)$에 대해 $f(t)=det(\boldsymbol{A}-t\boldsymbol{I})$를 $\boldsymbol{A}$의 특성다항식이라고 부른다
  • 정의
    - 유한차원 벡터공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$, $V$의 임의의 순서기저 $\beta$가 있다고 하자. $f(t)=det([T]_{\beta}-t\boldsymbol{I})$를 $T$의 특성다항식이라 부른다.
  • 위 정의는 순서기저 $\beta$의 선택과는 관련없다.
  • 증명
    - 다른 $V$의 순서기저 $\gamma$ 가 있다고 하자
    - $det(\boldsymbol{AB})=det(\boldsymbol{A})det(\boldsymbol{B})$ 이므로
    - $det([I]_{\beta}^{\gamma})det([T]_{\beta}-t\boldsymbol{I})det([I]_{\gamma}^{\beta})$
    - $=det([T]_{\beta}-t\boldsymbol{I})$
    - $=det([T]_\gamma -t\boldsymbol{I})$

고유공간 $eigensapce$

• 조건
  - 벡터공간 $V$에 선형연산자 $T$와 그의 고윳값 $\lambda_j(j=1,2,...,k)$이 있다고 하자.
• 정의
  - 다음 집합 $E_{\lambda_{j}}=\{x\in V :T(x)=\lambda_jx\}=N(T-\lambda_j I)$ 를 고유값 $\lambda_j$에 대응하는 $T$의 고유공간이라 정의한다
• 특이사항
  - 고유공간속 영벡터만큼은 정의상 고유벡터가 아니다

중복도 $multiplicity$

• 조건
  • 특성다항식 $f(t)=det(\boldsymbol{A}-t\boldsymbol{I})=c\cdot(t-\lambda_1)^{m_1}(t-\lambda_2)^{m2}\cdots(t-\lambda_k)^{m_k}$ 가 있다고 하자
• 정의
  - 이떄 $m_j$를 $\lambda_j$의 대수적 중복도라고 정의한다
  - $F$위에서 완전히 인수분해된다 $split\,\,over\,\,F$
  - 조건
  - 다항식 $f(t)\in \mathcal{P}(F)$이 있고 스칼라 $c,a_1,...,a_n \in F$ (같은 값이 있을수도 있다)가 있어 다음의 식을 만족시킨다고 하자
  - $f(t)=c(t-a_1)(t-a_2)\cdots(t-a_n)$
• 정의
  - $F$ 위에서 완전히 인수분해된다고 정의한다

2. 대각화가능성

• 조건
  - $n$차원 벡터공간 $V$에 선형변환 $T$가 정의되었다고 하자
• 판정법(대각화가능성의 필요충분조건)
  - 특성다항식이 완전히 인수분해되어야 한다
  - 만약 $F=\boldsymbol{C}$ 라면 $Fundamental\,\,Theorem\,\,of\,\,Algebra$에 의해 보장된다
  - 고유공간의 차원이 $nullity(T-\lambda_j I)=dim(E_{\lambda_{j}})$ 고유값 $\lambda_j$의 중복도과 같다
• 고유벡터로 이루어진 순서기저 만들기
  - $T$가 대각화가능하고, $\beta_j$가 $E_{\lambda_{j}}$의 순서기저라고 할때 $\beta=\cup_{j=1}^{k}\beta_j$는 $T$의 고유벡터로 이루어진 $V$의 순서기저이다

보조정리

• 조건
  • 벡터공간의 선형연산자 $T$와 서로다른 고유값 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$가 있다고 하자
    - $S_j$는 $\lambda_j$에 대응하는 고유벡터로 이루어진 유한집합이라 하자
    - 정리
    - $S_j$$(j=1,2,...,k)$가 일차독립이면 $S_1\cup S_2 \cup \cdots \cup S_k$ 도 일차독립이다
• 증명
  - $k$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자
  - $k=1$ 에선 자명하다
  - $k \ge 2$ 에서 $k-1$개의 서로 다른 고유값에 대해 정리가 성립한다 가정하자
  • $(1)$$\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}a_{ij}v_{ij}=0$ 에서 모든 $a_{ij}$가 $0$이면 증명될 수 있다.
  • 이때 $v_{ij}$는 $\lambda_{i}$에 대응하는 고유벡터이므로 양변에 $T-\lambda_{k}I$를 적용하면
  • $\sum_{i=1}^{k-1}\sum_{j=1}^{n_i}a_{ij}(\lambda_i-\lambda_k)v_{ij}=0$
  • 수학적 귀납법 가정에 따라 $S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_{k-1}$는 일차독립이므로 $i=1,2,...,k-1,\,\,\,j=1,2,...,n_i$에 대해 $a_{ij}(\lambda_i-\lambda_k)=0$이다
  • $\lambda_j$는 서로 다른 값들이므로 $a_{ij}=0$ 임을 알 수 있다. 따라서 $(1)$식은
  • $\sum_{j=1}^{n_k}a_{kj}v_{kj}=0$이 된다. $S_k$의 일차독립은 전제조건이였으므로 $a_{kj}=0$이다
  • 따라서 $i=1,2,...,k\,\,\,j=1,2,...,n_i$에 대해 $a_{ij}=0$이므로 $S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_k$는 일차독립이다

2-1. 직합 $direct\,\,sum$

부분공간의 합

• 조건
  - 벡터공간 $V$가 있고 그 부분공간 $W_1,W_2,...,W_k$가 있다고 하자
• 정의
  - $\sum_{i=1}^{k}W_i=\{v_1+v_2+\cdots+v_k:1\le i\le k ,\,\, v_i \in W_i\}$

직합

• 정의
  - 벡터공간 $V$가 있고 그 부분공간 $W_1,W_2,...,W_k$가 있다고 하자
  - $W_i \subseteq W$이고 다음을 만족시키는 부분공간 $W$가 있다고 하자
  - $W=\sum_{i=1}^{k}W_i,\,\,\,\, W_j \cap\sum_{i\ne j} W_i=\{0\}$ $for\,\,\,1\le j\,\,\le k$

이에 따라오는 성질

• 조건
  - 유한차원 벡터공간$V$의 부분공간 $W_1,W_2,...,W_k$가 있다고 하자
  - $W_j$에 대응하는 순서기저 $\gamma_j$가 있다고 하자
  - $v_j \in W_j$ 인 벡터가 있다고 하자
• 정리
  - 다음의 명제는 동치이다
  - $V=\bigoplus_{i=1}^{k}W_i$
  - $V= \sum_{i=1}^{k}W_i$이고 $v_1+v_2+...+v_k=0$일때 모든 $i$에 대하여 $v_i$는 $0$이다
  - $v\in V$에 대해 $v=v_1+v_2+...+v_k$꼴로 표현하는 방법은 유일하다
  - $\gamma=\bigcup_{i=1}^{k}\gamma_i$는 $V$의 기저이다
• 증명
  - $1\rightarrow2|$ 임의의 $j$에 대해 $-v_j=\sum_{i\ne j}v_i$ 로 표현할 때 $\sum_{i \ne j}v_i \in \bigcup_{i \ne j}W_i$
  - 그러므로$-v_j \cap \sum_{i\ne j}v_i=\{0\}$ 임의의 $v_j=0$이므로 증명된다
  - $2\to3|$ $v=v_1+v_2+...+v_k$ 인 어떤 벡터 $v\in V$가 있다하자. 또한 $w_j \in W_j$여서 $v= w_1+w_2+...+w_k$로 표현가능하다고 하자
  - 그러면 $0=(v_1-w_1)+(v_2-w_2)+...+(v_k-w_k)$이다.
  - 모든 $i$에 대해 $v_i-w_i \in W_i$이므로 $v_i-w_i=0$이다 따라서 표현은 유일하다
  - $3\rightarrow 4|$ $3$에 따르면 $V=\sum_{i=1}^{k}W_i$이므로 $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \cdots \cup \gamma _k$는 $V$를 생성한다
  - 이 집합이 일차독립임을 보이기 위해 $\sum_{i,j}a_{ij}v_{ij}=0$을 고려해보자 ($i=1,2,...,k\,\,\,\, j=1,2,...,m_i)$
  - $w_i=\sum_{j=1}^{m_i}a_{ij}v_{ij}$로 두자. 그러면 $2$번 규칙에 따라, $w_1+w_2+...+w_k=0$ 일때 각각의 $w_1,w_2,...,w_k=0$ 이므로
  - $\sum_{j=1}^{m_i}a_{ij}v_{ij}=w_i=0$, 각각의 $\gamma_i$는 0이므로 $a_{ij}=0$
  - 따라서 $\gamma=\bigcup_{i=1}^{k}\gamma_i$ 는 일차독립이면서 $V$의 기저이다
  - $4\rightarrow1|$ $V=span(\gamma)=span(\bigcup_{i=1}^{k}\gamma_i)=$$\sum_{i=1}^{k}span(\gamma_i)=\sum_{i=1}^{k}W_i$
  - $v_j \cap\sum_{i \ne j}v_i=\{0\}$ 이므로
  - $V=\bigoplus_{i=1}^{k}W_i$
  - $ref.(span(S_1\cup S_2)=span(S_1)+span(S_2))$

2-2. 동시대각화가능 $stimultaneously\,\,diagonalizable$

• 조건
  - 유한차원 벡터공간에 두 선형연산자 $T,U$가 있다고 하자
• 정리
  - 다음의 두 명제는 동치이다
  • $TU=UT$로 서로 교환가능한 연산자이다
  • $[T]_\beta,[U]_\beta$를 동시에 대각행렬로 보이게끔 하는 순서기저 $\beta$가 존재하고 이를, $T,U$가 동시에 대각화 가능하다고 한다
• 조건
  - 두 행렬 $\boldsymbol{A,B}\in \boldsymbol{M}_{n \times n}(F)$가 있다고 하자
• 정리
  - 다음 두 명제는 동치이다
  - $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$로 서로교환가능한 행렬이다
  - $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}$와 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}$를 동시에 대각행렬로 보이게끔 하는 가역행렬 $\boldsymbol{Q}$가 존재하고 이를, $\boldsymbol{A,B}$가 동시에 대각화가능하다고 말한다