5-2. 불변공간

3. $T$-불변공간 $T-invariant\,\,subspace$란 무엇인가?

• 조건
  - 벡터공간 $V$에 선형연산자 $T$가 있다고 하자.
  - 부분공간 $W \subseteq V$가 $T(W) \subseteq W$ 의 성질을 가진다고 하자
• 정의
  - $W$를 $V$의 $T-$불변공간이라 부른다

$T$-순환 부분공간

• 조건
  - 벡터공간 $V$와 그 선형연산자 $T$, $non-zero$ 벡터 $v \in V$가 있다고 하자
  - 다음과 같이 형성된 부분공간 $W$가 있다고 하자
  - $W=span(\{x,T(x),T^2(x),...\})$
• 정의
  - $W$를 $x$에 의해 생성된 $T$-순환 부분공간이라고 부른다

정의역을 $W$로 제한$restriction$한 함수

• 조건
  - 벡터공간 $V$와 선형연산자 $T$, $T$-불변공간 $W$가 있다고 하자
• 정의
  - $T_W$를 기존 선형연산자 $T$에서 정의역과 공역 모두 $W$로 제한하는 것으로 정의하자

이에 따라오는 성질들

$T$- 부분공간과 특성다항식

• 조건
  • 유한차원 벡터공간 $V$와 선형연산자 $T$, $T$-불변공간 $W$가 있다고 하자
• 결과
  - $T_W$의 특성다항식은 $T$의 특성다항식을 나눈다

$T$-순환 부분공간의 특성

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V$와 선형연산자 $T$가 있다고 하자
  - $non-zero$ 벡터 $v \in V$에 의해 생성된 $T$-순환 부분공간 $W$가 있다고 하자
  - $dim(W)=k$라 하자
• 결과
  - $\{v,T(v),T^2(v),...,T^{k-1}(v)\}$는 $W$의 기저이다
  - $\sum_{j=0}^{k-1}a_jT^j(v)+T^k(v)=0$ 이면 $T_W$의 특성다항식은 $T_W$의 특성다항식은 $f(t)=(-1)^k(a_0+a_1t+...+a_{k-1}t^{k-1}+t^k)$이다

증명

• $1)\,\,\beta=\{v,T(v),T^2(v),...,T^{j-1}(v)\}$가 일차독립을 만족시키는 되도록 가장 큰 수 $j$를 택한다고 하자 $V$는 유한차원이므로 이러한 $j$는 반드시 존재한다
  • $T^j(v)$는 $\beta$와 일차종속이므로 $T^j(v) \in span(\beta)$이다
  • 임의의 원소 $w \in span(\beta)$를 택한다고 하자.
  • $w=\sum_{i=0}^{j-1}a_iT^i(v)$로 표현할 수 있다.
  • $T(w)=\sum_{i=0}^{j-1}a_iT^{i+1}(v) \in span(\beta)$이다
  • 즉 $span(\beta)$ 는 $T$- 불변공간이며 $v \in span(\beta)$이다
  • $v$를 포함하는 가장 작은 $T$-불변 부분공간은 $v$에 의해 생성된 $T$-순환 부분공간이므로 $W\subseteq span(\beta)$ 이다
  • 그런데 $\beta \subseteq W$이므로 $span(\beta)\subseteq W$이므로
  • $W=span(\beta)$이다
• $2)\,\, 0\le j \le k-2$ 의 경우
  - $[T(T^j(v))]_\beta=[T^{j+1}(v)]_\beta=e^{j+2}$ 이고
  - $[T]_\beta[T^j(v)]_\beta=[T]_\beta e^{j+1}=$$e^{j+2}$
  - $col_{j+1}([T]_\beta)=e^{j+2}$
  - $j=k-1$ 인경우
  - $[T(T^{k-1}(v))]_\beta=[T^k(v)]_\beta=-\sum_{i=0}^{k-1}[a_iT^i(v)]_\beta=\sum_{i=0}^{k-1}a_ie^{i+1}$
  - 종합하면 $[T_W]_\beta=\begin{pmatrix} 0& 0&\cdots&0&-a_0\\1&0&\cdots&0&-a_1\\\cdots&\cdots&&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&1&-a_{k-1}\end{pmatrix}$이다
  - 연습문제 19에 따르면( 이 과정은 생략하였음)
  - $f(t)=(-1)^k (a_0+a_1t+...+a_{k-1}t^{k-1}+t^k)$
  

4. 케일리-해밀턴 정리 $Cayley-Hamilton\,\,theorem$

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V$와 $V$에 정의된 선형연산자 $T$, $T$의 특성다항식 $f(t)$가 있다고 하자
• 정리
  - $f(T)=T_0$(영변환) 즉 $T$는 특성다항식을 만족한다
• 증명
  • 모든 $v \in V$에 대하여 $f(T)=0$임을 보여야 한다
    - $v=0$ 이면 $f(0)=0$ 이다
    - $v\ne 0$ 인 경우를 살펴보자
    - $W$를 $v$에 의해 생성된 $T$- 부분 순환공간이라고 하고 $dimW=k$라 하자
    - $T^k(v) \in W$ 이므로 위의 정리(1)에 따라 $\sum_{i=0}^{k-1}a_iT^i (v)+T^k(v)=0$을 만족하는 $a_j \in F$가 존재한다
    - 위의 정리(2)에 따라 이 $T_W$의 특성다항식은 $g(t)=(-1)^k(\sum_{i=0}^{k-1}a_it^i+t^k)=0$ 이다. 변수 $t$의 자리에 선형변환 $T$를 대입하면
    - $g(T)(v)=(-1)^k(\sum_{i=0}^{k-1}a_iT^i+T^k)(v)=0$ 가 된다
    - $T_W$의 특성다항식은 $T$의 특성다항식을 나누어 $f(t)=g(t)h(t)$꼴로 만드는 특성이 있으므로( $f(t),g(t),h(t)$는 각각 $T,T_W$의 특성방정식, 나머지 $t$의 함수)
    - $f(T)(v)=g(T)h(T)(v)=h(T)(g(T)(v))=h(T)(0)=0$
    - 모든 $v \in V$에 대해 $f(T)(v)=0$이므로 $f(T)=T_0$이다
• 따름정리
  - $\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{M}_{n\times n}(F)$의 특성다항식 $f(t)$에 대하여 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$이다