용어정리

• 시행: 주사위나 동전을 던지는 것과 같이 같은 조건에서 반복할 수 있으며 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰(trial)

• 사건: 어떤 시행의 결과로 일어날 수 있는 모든 경우의 집합의 부분집합

  • 합사건: 사건 A 또는 B가 일어나는 사건
  • 곱사건: 사건 A와 B가 동시에(잇달아) 일어나는 사건

• 배반사건: 두 사건 A와 B가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 A$\cap$B=$\emptyset$일 때, 배반사건이라고 한다.

• 확률: 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 사건 A가 일어날 확률이라하고 P(A)로 표기한다.(probability)

• 수학적 확률: 어떤 시행의 결과로 일어날 수 있는 모든 경우의 집합 S에서 사건 A가 일어날 확률은 P(A)=$\frac{n(A)}{n(B)}$로 정의하고, 이것을 집합 S에서 사건 A가 일어날 수학적 확률이라 한다.

• 통계적 확률: 일반적으로 어떤 시행을 n번 반복하였을 때, 사건 A가 일어난 횟수를 $r_n$이라 하면 n이 한없이 커짐에 따라 상대도수 $\frac{r_n}{n}$을 사건 A가 일어날 통계적 확률이라 한다.

  한 개의 동전을 던지는 시행을 n번 반복할 때

  던진 횟수(n)	100	400	700
  앞면이 나온 횟수($r_n$)	55	208	351
  상대도수($\frac{r_n}{n}$)	0.55	0.52	0.501

  n이 커질수록 수학적 확률인 0.5에 가까워진다.

문제1) 남학생 4명과 여학생 3명이 일렬로 앉을 때, 남학생과 여학생이 번갈아 앉는 확률을 구하라.

• 7명의 학생이 일렬로 앉는 모든 경우의 수는 7!
• 남학생 4명과 여학생 3명이 번갈아 앉는 방법은
  | 남 | 여 | 남 | 여 | 남 | 여 | 남 |
  순서로 앉으면 되기 때문에, 남자들이 자리를 바꾸는 경우의 수 4! 여자는 3!이다.
• 따라서
  $\frac{4!3!}{7!}=\frac{6}{7*6*5}=\frac{1}{35}$

덧셈정리와 여사건

확률의 덧셈정리

1부터 10까지 자연ㅅ가 하나씩 적혀 있는 10장의 카드에서 임의로 한장의 카드를 택할 때,
사건 A: 카드의 수가 2의 배수일 경우
사건 B: 카드의 수가 3의 배수일 경우
A = {2,4,6,8,10}
B = {3,6,9}
A$\cap$B = {6}
A$\cup$B = {1,2,4,6,8,9,10}
P(A)=$\frac{1}{2}$
P(B)=$\frac{3}{10}$
P(A$\cap$B)=$\frac{1}{10}$
p(A$\cup$B)=$\frac{7}{10}$

따라서 p(A$\cup$B)=P(A)+P(B)-P(A$\cap$B) 이다.

여사건의 확률

어떤 시행의 결과로 일어날 수 있는 모든 경우의 집합 S의 부분집합인 사건 A와 여사건 $A^c$에 대하여
P($A^c$)=1-P(A)
예를 들어 안경을 낀 학생 5명과 안경을 끼지 않은 학생 3명 중에서 임의로 2명을 동시에 뽑을 때, 모든 경우의 수는 $_8C_2=28$
뽑은 2명중 적어도 1명의 이 안경낀 학생이 포함되는 사건 A에 대해서

• 2명 모두 안경 낀 학생인 경우: $_5C_2=10$
• 1명은 안경을 낀 학생 1명은 아닌 경우:$_1C_5*_1C_3=15$
  따라서 n(A)=10+15=25
  P(A)=$\frac{25}{28}$
  A($A^c$)=$\frac{3}{28}$

문제1) 서로 다른 4대의 자동차와 그 자동차의 열쇠 4개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자 속의 열쇠는 각각 자동차당 하나씩만 사용하고 각각의 열쇠는 한번씩만 사용하여 4대의 자동차를 열어 볼 때, 적어도 하나의 자동차가 열릴 확률을 구하라.

• 4대의 자동차에 4개의 열쇠를 대응시키는 경우의 수는 4!이다.
• 4대의 서로 다른 자동차 중 하나도 열리지 않는 경우의 수는 9가지이다.
• 1대라도 열릴 확률은 1대도 열리지않은 확률의 여사건이므로
  따라서 1-$\frac{9}{4!}=\frac{5}{8}$

조건부확률

조건부확률이란 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어났다고 가정할 때, 사건 B가 일어날 확률을 사건 A가 일어났을 때 사건 B의 조건부 확률이라 하고 P(B|A)와 같이 표기한다.

다음 표는 어느 학급 전체 학생 30명의 통학 방법을 조사한 결과이다. 이 학급의 학생 ㅈ우에서 임의로 택한 한명이 버스로 통학하는 학생일 때, 그 학생이 남학생일 확률은?

	버스	도보	합계
남학생	8	10	18
여학생	6	6	12

버스로 통학하는 학생이 14명이고 그 중 남학생이 8명이므로 $\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$

어떤 시행의 결과로 일어날 수 있는 모든 경우의 집합 S에서 사건 A가 일어났을 때, 사건 B의 조건부 확률은
$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (단, P(A)>0)

사건의 독립과 종속

독립: 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나거나 일어나지 않는 것이 사건 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때, 즉 $P(B|A)=P(B|A^c)=P(B)$일 때, 두 사건 A와 B는 서로 독립이라 한다.
종속: 두 사건 A와 B가 서로 독립이 아닐 때, 즉 $P(A|B)\neq P(A)$ 일 때, 두 사건 A와 B는 서로 종속이라 한다.

예시)

• 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째에 짝수의 눈이 나오는 사건과 두 번째에 짝수의 눈이 나오는 사건 => 독립 (첫번째 주사위 눈의 결과가 뒤의 사건에 영향을 주지않음)
• 주머니에 빨간 구슬 1개, 파란 구슬 2개가 들어있을 때, 첫 번째로 꺼낸 구슬이 빨간 구슬인 사건과 두번째 꺼낸 구슬이 파란 구슬인 사건 => 종속(첫번째 꺼낸 구슬이 뒤에 꺼낼 구슬에 영향을 줌)

베이즈 정리

베이즈 정리는 어떤 조건부확률을 계산하는 것이 쉽지 않은 상황일 때, 알고 있는 다른 조건을 이용해서 원하는 확률을 계산하는 방법이다.

문제1)
인구의 1%정도가 가지고 있는 어떤 질병을 진단하는 새로운 시약이 개발되었는데, 정확도가 90%라고 한다. 이 시약으로 검사해서 양성이 나왔다면, 실제로 그 질병에 걸렸을 확률은 얼마나 될까?
질병에 걸리는 사건을 A, 시약에서 양성이 나오는 사건을 O라고 하자.
$P(A) = 0.01$
$P(A^c) = 0.99$
$P(O|A) = 0.9$
$P(O|A^c) = 0.1$
구하려는 확률은 양성이 나올때(사건 O) 진짜 양성인(사건 A)의 확률을 구하므로 P(A|O)에 해당한다.
$P(A|O)=\frac{P(O|A)P(A)}{P(O)}$
$P(O)= P(O|A)P(A) + P(O|A^c)P(A^c)$라고 할 수 있다.
따라서

$P(A|O)$
$=\frac{P(O|A)P(A)}{P(O|A)P(A)+P(O|A^c)P(A^c)}$
$=\frac{0.9*0.01}{0.9*0.01 + 0.1*0.99}$
$=\frac{0.009}{0.108}\approx 8.33$