4.1.1 The Fourier Series for Continuous-Time Periodic Signals

eggmo·2024년 4월 15일
DSP디지털 신호 처리

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푸리에 급수(Fourier Series)란 주기 신호를 Harmonically related 관계의 정현파 신호들의 가중합으로 표현할 수 있다는 정의이다.

1.3.3 Harmonically Related Complex Exponentials 에서 우리는 Harmonically 관계에 있는 정현파 신호의 합을 식 [4.1.1]로 표현 했다.

xa(t)=∑k=−∞∞ckej2πkF0t[4.1.1]x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad[4.1.1]

간단히 설명하자면 ej2πF0te^{j 2 \pi F_0t} 는 기본 주파수 F0F_0을 갖는 정현파 신호이다. 이 때 정수 kk를 −∞<k<∞-\infty < k < \infty 까지 기본 주파수에 곱한 ej2πkF0te^{j 2 \pi k F_0t} 는 ej2πF0te^{j 2 \pi F_0t} 의 Harmonically Related 의 정현파 신호이다.

여기에 ckc_k를 곱해서 Harmonically Related 관계에 있는 신호에 다른 가중치를 곱해주는 것이다. 이렇게 함으로써 모든 주기신호는 Harmonically Related 관계의 신호의 합으로 표현 가능하다. 이것이 푸리에 급수(Fourier Series) 이다.

주기 신호 xa(t)x_a(t) 의 기본 주파수가 F0F_0 일 때 식 [4.1.1]의 우항으로 xa(t)x_a(t)를 나타낼 수 있는 것이다.


그러나 식 [4.1.1]의 우항을 완성 시키기 위해서는 ckc_k를 구해야 한다. 어떻게 구하는지 알아 보자.

먼저 기본 주파수 F0F_0 기본 주기 TpT_p를 가지는 주기 신호 x(t)x(t) 가 있다고 가정해보자.

먼저 식 [4.1.1]의 양변에 e−j2πF0lte^{-j 2\pi F_0 lt} 를 곱해 보자. 그런 다음 양변에 ∫t0t0+TP\int_{t_0}^{t_0+T_P} 취해 보자. 그러면 식 [4.1.2]가 만들어 진다.


∫t0t0+TPx(t)e−j2πlF0tdt=∫t0t0+TPe−j2πlF0t(∑k=−∞∞ckej2πkF0t)dt[4.1.2]\int_{t_0}^{t_0+T_P}x(t)e^{-j2\pi l F_0t}dt = \int_{t_0}^{t_0+T_P}e^{-j2\pi l F_0t}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \right)dt \quad\quad\quad [4.1.2]

식 [4.1.2]의 우항을 먼저 계산 해보자. 계산을 위해 식 [4.1.2] 우항의 적분과 시그마의 순서를 바꾸고 exponential 항끼리 곱한다. 그러면 식 [4.1.3]이 유도 된다.

∫t0t0+TPe−j2πlF0t(∑k=−∞∞ckej2πkF0t)dt = ∑k=−∞∞ck∫t0t0+TPej2π(k−l)F0tdt =∑k=−∞∞ck[ej2πF0(k−l)tj2πF0(k−l)]t0t0+Tp[4.1.3]\int_{t_0}^{t_0+T_P}e^{-j2\pi l F_0t}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \right)dt \ =\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\int_{t_0}^{t_0+T_P}e^{j2\pi (k-l) F_0t}dt \ = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \left[\frac{e^{j2\pi F_0(k-l)t}}{j 2\pi F_0(k-l)} \right]^{t_0+T_p}_{t_0} \quad\quad\quad [4.1.3]

k=lk = l 일 때

∑k=−∞∞ck[ej2πF0(k−l)tj2πF0(k−l)]t0t0+Tp=clTpk=l 일  때\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \left[\frac{e^{j2\pi F_0(k-l)t}}{j 2\pi F_0(k-l)} \right]^{t_0+T_p}_{t_0} = c_lT_p \quad\quad\quad k = l \ 일 \ \ 때

이렇게 식 [4.1.1]의 우항이 clTpc_lT_p로 간소화 되었다. 이것을 식 [4.1.2]에 좌항과 비교하면 clc_l는 식 [4.1.4]와 같다.

cl=1Tp∫t0t0+TPx(t)e−j2πlF0tdt[4.1.4]c_l = \frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_P}x(t)e^{-j2\pi l F_0t}dt \quad\quad\quad [ 4.1.4]

이 때 첨자 ll을 첨자 kk로 바꿔주면 계수 ckc_k를 구할 수 있게 된다.

따라서 푸리에 급수의 최종식을 다시 쓰게 되면

xa(t)=∑k=−∞∞ckej2πkF0t[4.1.8]x_a(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad\quad[4.1.8]
ck=1Tp∫t0t0+TPx(t)e−j2πkF0tdt[4.1.9]c_k = \frac{1}{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_P}x(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.9]

로 표시할 수 있게 된다.
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