4.1.3 The Fourier Transform for Continuous-Time Aperiodic Signal

eggmo·2024년 4월 17일

DSP

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4.1.2절에서는 주기 신호에 대한 푸리에 변환을 살펴보았다.

이번 장에서는 비주기 신호(Aperiodic Signal)에 대한 푸리에 변환을 알아 본다.

먼저 주기 함수에 대한 전력 밀도 스펙트럼을 [그림 1]처럼 나타낼 수 있다. 주기 신호의 주기 $T_p$ 가 클 수록 주파수 성분의 밀도가 빽빽해진다.

만약 비주기 신호라면 어떻게 될까? 비주기 신호라면 주기 $T_p = \infty$ 가 될 것이다. 그러면 기본 주파수 $F_0$ 는 0 이다.

간격이 0이므로 전력 밀도 스펙트럼의 인접한 주파수 성분들은 연속하게 된다.

수식을 통해 비주기 함수와 주기함수의 관계를 푸리에 급수로 표현해보고 의미를 파악해보자.

[그림 2]의 위 신호는 비주기 신호 $x(t)$ 이고 [그림 2]의 아래 신호는 주기가 $T_p$ 인 주기 신호 $x_p(t)$ 이다. (그림에서 $T_p/2%$ 가 두번 나오는 건 오류)

주기 신호 $x_p(t)$ 의 주기 $T_p$ 를 무한대로 보내면 비주기 함수가 되어 [그림 2]의 위 신호와 같아지게 된다.

주기 신호 $x_p(t)$ 를 푸리에 급수로 나타내면 식[4.1.20], 식[4.1.21]과 같다.

x_p(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad[4.1.20]

c_k = \frac{1}{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}x_p(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.21]

을 만족한다.

비주기 신호 $x(t)$ 는 $-\frac{T_p}{2} <= t <= \frac{T_p}{2}$ 에서 주기 신호 $x_p(t)$ 와 같다. 따라서 주기 신호 $x(t)$ 를 푸리에 급수로 나타내면 식 [4.1.22]와 같다.

c_k = \frac{1}{T_p}\int_{-T_p/2}^{T_p/2}x(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.22]

이 때 비주기 신호 $x(t)$ 는 $-\frac{T_p}{2} <= t <= \frac{T_p}{2}$ 범위 밖에서 값이 0이기 때문에 식 [4.1.22]의 적분 구간을 무한대로 확장할 수 있다. 즉 식 [4.1.23]과 같다.

c_k = \frac{1}{T_p}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi k F_0t}dt \quad\quad\quad [4.1.23]

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi kF_0t}dt$ 를 $X(kF)$ 로 정의해보자. 이것이 주기함수의 푸리에 급수이다. 그러면 [식 4.1.24]가 된다.

X(kF_0) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi kF _0t}dt \quad\quad\quad [4.1.24]

식 [4.1.23]과 식 [4.1.24]를 결합하면 식 [4.1.25]가 만들어 진다.

T_pc_k = X(kF_0) = X(\frac{k}{T_p}) \quad\quad\quad\quad [4.1.25]

식 [4.1.25]를 통해 $x_p(t)$ 의 푸리에 변환 $X(kF_0)$ 는 주파수 축에서 인접한 주파수 간격이 $F_0$ 임을 확인할 수 있다. 즉 유한하다.

만약 주기 $T_p$ 가 무한대로 가면 주기 신호는 비주기 신호가 되고 주파수 축에서 인접한 주파수 간격이 0이 됨을 확인할 수 있다. 즉 연속한다.

만약 식 [4.1.20]과 식 식 [4.1.25]를 결합하면 식 [4.1.26]과 같다.

x_p(t) = \frac{1}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(\frac{k}{T_p})e^{j 2 \pi k F_0t} \quad\quad\quad[4.1.26]

즉 푸리에 변환식에 $e^{j 2\pi k F_0t}$ 를 곱해주면 주파수축 신호가 시간축 신호로 바뀜을 확인할 수 있다. 이것이 주기 함수의 역 푸리에급수(Inverse-Fourier Series) 이다.

정리하자면 식 [4.1.24]에서 처럼 시간축 함수 $x(t)$ 에 $e^{-j 2\pi k F_0t}$ 를 곱해 주파수 축 함수 $X(kF)$ 로 바꾸는 과정을 푸리에 변환이라고 한다.

반대로 식 [4.1.26] 처럼 주파수 축 함수 $X(kT_p) = X(\frac{k}{F_0})$ 를 시간축 함수 $x(t)$ 로 바꾸는 과정을 역푸리에 변환이라고 하는 것이다.

추가로 $kF_0$ 가 0으로 가면 주기함수가 비주기 함수가 되고 유한한 값인 $kF_0$ 가 연속인 값인 $F$ 가 된다. 따라서 역 푸리에변환은 식[4.1.27]과 같이 다시 쓸 수 있다.

x_(t) = \frac{1}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X(F)e^{j 2 \pi Ft} \quad\quad\quad[4.1.27]

식 [4.1.27]은 비주기함수의 푸리에 급수이며 비주기함수의 푸리에 변환이다.

식 [4.1.24]에서 유한한 주파수 축인 $kF_0$ 를 무한한 주파수 축인 $F$ 로 바꾸면 식 [4.1.28]과 같다.

X(F) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi Ft}dt \quad\quad\quad [4.1.28]

식 [4.1.28]은 비주기함수의 푸리에 급수이며 비주기함수의 푸리에 변환이다.

이를 통해 푸리에 급수는 주기 신호에 대한 푸리에 급수이고 푸리에 변환은 비주기 신호에 대한 푸리에 급수인 것을 알 수 있다. 바꿔 말하면 유한한 주파수 축을 무한한 주파수 축으로 확장한 것이고 주기 신호에서 정의된 푸리에 급수를 비주기 신호로 확장한 것이다.

마지막으로 주파수를 각주파수로 바꿔서 표현하면 푸리에 변환은 식 [4.1.31], 식 [4.1.32]과 같다.

x_(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega)e^{j \Omega t}d\Omega \quad\quad\quad[4.1.31]

x_(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j \Omega t}dt \quad\quad\quad[4.1.32]

[그림 1]과 비교해서 설명하면 시간축에서 비주기 신호의 주파수 스펙트럼 성분을 구하는 것이 식 [4.1.32]에 해당하고 주파수 축에서 비주기 함수의 시간 축 신호를 구하는 것이 식 [4.1.31]이다.

안녕하세요eggmo입니다.