Random Process - Probability Measure에 관련된 규칙들 (3)

  저번 글에서는 'membership information'이 주어졌을 때, 즉 event의 characteristic에 대한 추가적인 정보가 주어졌을 때 probability space에 나타나는 변화에 대해 살펴보았습니다. 이번 글에서는 주어진 probabilty space와, 이로부터 파생된 probability space는 과연 어떤 연관성을 가지는지에 대해 알아보겠습니다.

서로 연결된 probability space.

  어떤 사람 A가 버튼을 누른다고 해 봅시다. 이 event의 sample space는 $\{"Press", "Not \; Press"\}$ 두 가지 원소로 이루어진 집합일 것입니다. 그런데 관찰자 B는 사람 A가 버튼을 눌렀을 때 송신기에서 보내지는 전파의 전압을 관찰할 수 있습니다. 버튼을 눌렀을 때는 $1V$의 전압이 관찰되고, 누르지 않았을 때는 $0V$의 전압이 관찰된다고 하고, noise가 없는 이상적인 상황을 가정합시다. 이 때 B가 관찰한 event의 sample space는 $\{0V, 1V\}$ 두 가지 원소를 가질 것입니다. 그렇다면 A가 버튼을 누르는 random event와 B가 전압을 관찰하는 random event의 probability space와, 이에 대한 probability measure에는 어떠한 연관성이 있을까요?

Principle 5: Conservation of Probability.

  For any given probability space $(S, \mathcal{P}(S), P)$, let $T$ be any arbitrary set. Then,

we can think of a new probability space $(f(S), \mathcal{P}(f(S)), P')$, where:

Note:

  Principle 5에 따르면, 우리는 $f("Press") = 1V$, $f("Not \; Press") = 0V$이라는 mapping을 자연스럽게 생각할 수 있습니다. Probability measure $P$와 $P'$는 어떤 관계가 있을까요? 예를들어, $P(\{"Press"\}) = \frac{1}{4}$, 그리고 $P(\{"Not \; Press"\}) = \frac{3}{4}$ 으로 둔다면, principle 5에 의해 다음과 같은 관계식을 만족할 것입니다:

  이는 $P'(\{0V \})$에 대해서도 마찬가지이며, 언급한 정보들을 통해 우리는 $(f(S), \mathcal{P}(f(S)), P')$이라는 파생된 probability space를 구성할 수 있습니다.

Conclusion.

  지금까지 우리는 probability space를 정의하는 법과, 이를 구성하는 5가지 법칙에 대해 살펴보았습니다. 주어진 random event에 대해서, 가능한 모든 outcome에 대해 생각해볼 때 이에 대한 probability space를 정의할 수 있었습니다. 또한 추가적인 정보가 주어졌을 때 probability space는 어떤 방식으로 변하는지, 서로 연관이 있는 random event들의 probability space는 어떤 특징을 가지는지에 대해서도 알아보았습니다.

  다음 시간에는 random variable과 probability density function에 대해 살펴보고, principle 5가 random variable에 어떤 작용을 하는지에 대해서도 설명해보겠습니다. 지금까지 긴 글 읽어주셔서 감사드립니다!