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기하 분포의 평균 유도
Matt Lee
·
2020년 7월 21일
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0
기하 분포
유도
통계학
평균
0
기초 확률론
목록 보기
19/26
기하분포의 평균인
1
p
\frac{1}{p}
p
1
를 유도 해 보겠습니다.
Scratch Work
∫
x
(
1
−
p
)
x
−
1
d
p
=
−
∫
x
u
x
−
1
d
u
=
−
x
∫
u
x
−
1
d
u
=
−
x
u
x
x
+
C
=
−
(
1
−
p
)
x
+
C
\begin{aligned} \int x(1-p)^{x-1}dp &= -\int xu^{x-1}du \\ &=-x\int u^{x-1}du \\ &=-x\frac{u^x}{x} + C \\ &=-(1-p)^x + C \end{aligned}
∫
x
(
1
−
p
)
x
−
1
d
p
=
−
∫
x
u
x
−
1
d
u
=
−
x
∫
u
x
−
1
d
u
=
−
x
x
u
x
+
C
=
−
(
1
−
p
)
x
+
C
유도
E
[
X
]
=
∑
x
x
P
X
(
x
)
=
∑
x
x
(
1
−
p
)
x
−
1
p
=
p
∑
x
=
1
∞
x
(
1
−
p
)
x
−
1
=
p
∑
x
=
1
∞
−
d
d
p
(
1
−
p
)
x
=
−
p
d
d
p
∑
x
=
1
∞
(
1
−
p
)
x
=
−
p
d
d
p
[
(
1
−
p
)
1
+
(
1
−
p
)
2
+
…
+
(
1
−
p
)
n
+
…
]
=
−
p
d
d
p
[
lim
n
→
∞
(
1
−
p
)
n
]
=
−
p
d
d
p
[
1
−
p
1
−
(
1
−
p
)
]
=
−
p
d
d
p
[
1
−
p
p
]
=
−
p
[
−
p
−
(
1
−
p
)
p
2
]
=
p
+
1
−
p
p
=
1
p
■
\begin{aligned} E[X] &= \sum\limits_{x}xP_X(x) \\ &= \sum\limits_{x}x(1-p)^{x-1}p \\ &= p\sum\limits_{x=1}^{\infty} x(1-p)^{x-1} \\ &= p\sum\limits_{x=1}^{\infty} -\frac{d}{dp}(1-p)^x \\ &= -p\frac{d}{dp}\sum\limits_{x=1}^{\infty} (1-p)^x \\ &= -p\frac{d}{dp}[(1-p)^1 + (1-p)^2 + \ldots +(1-p)^n + \ldots] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\lim_{n \to \infty} (1-p)^n \right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{1-(1-p)} \right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{p} \right] \\ &= -p \left [\frac{-p-(1-p)}{p^2} \right] \\ &= \frac{p+1-p}{p} \\ &= \frac{1}{p} \;\;\;\; \blacksquare \end{aligned}
E
[
X
]
=
x
∑
x
P
X
(
x
)
=
x
∑
x
(
1
−
p
)
x
−
1
p
=
p
x
=
1
∑
∞
x
(
1
−
p
)
x
−
1
=
p
x
=
1
∑
∞
−
d
p
d
(
1
−
p
)
x
=
−
p
d
p
d
x
=
1
∑
∞
(
1
−
p
)
x
=
−
p
d
p
d
[
(
1
−
p
)
1
+
(
1
−
p
)
2
+
…
+
(
1
−
p
)
n
+
…
]
=
−
p
d
p
d
[
n
→
∞
lim
(
1
−
p
)
n
]
=
−
p
d
p
d
[
1
−
(
1
−
p
)
1
−
p
]
=
−
p
d
p
d
[
p
1
−
p
]
=
−
p
[
p
2
−
p
−
(
1
−
p
)
]
=
p
p
+
1
−
p
=
p
1
■
Matt Lee
미국에 서식 중인 응용 수학과 대학원생, 아직은 잉여지만 그래도 행복 :)
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