베르누이 분포의 평균과 분산 유도

이번 포스팅에서는 베르누이 분포의 평균과 분산을 유도 해 보겠습니다.

다음과 같은 베르누이 분포가 있을 때

$X \sim Bern(P) \;\; P(X=1)=p \;\; P(X=0)=1-p \;$ Support $k \in \{0,1\}$

다음의 평균의 정의로 부터

$P(X=x_k)=p_k \;\; E(X)=\sum\limits_{\substack{i}}x_kp_k$

평균 유도

$E(X)=1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

다음의 분산의 working formula 로 부터

$Var(X)=E(X^2)-E(X)^2$

분산 유도

$E(X^2)=1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p)=p$

$Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=p-p^2=p(1-p)$