기하분포의 분산 유도

Matt Lee·2020년 7월 21일

기초 확률론

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\begin{aligned} Var(X) &= E[(X-E[X])^2] \\ &= \sum\limits_{x} E[(x-E[X])^2]P_X(x) \\ &= \sum\limits_{x} [x^2-2xE[X]+(E[X])^2]P_X(x) \\ &= \sum\limits_{x}x^2P_X(x) -2E[X]\sum\limits_{x}xP_X(x) + (E[X])^2\sum\limits_{x}P_X(x) \\ &= E[X^2] -2(E[X])^2 +(E[X])^2\\ &= E[X^2] -(E[X])^2 \end{aligned}

기하 분포의 평균인 $E[X]=\frac{1}{p}$ 의 유도는 아래 링크의 제 포스팅에서 확인 해 주세요.
기하 분포의 평균 유도

기하 분포의 평균은 $\frac{1}{p}$ 로 이미 유도 했으므로 기하분포의 이차 적률인 $E[X^2]$ 에 대해서 유도 하겠습니다.

\begin{aligned} E[X^2] &= \sum\limits_{x}x^2P_X(x) \\ &= \sum\limits_{x=1}^{\infty}x^2(1-p)^{x-1}p \\ &= p\sum\limits_{x=1}^{\infty}x^2(1-p)^{x-1} \\ &= p\sum\limits_{x=1}^{\infty}-\frac{d}{dp}\left[x(1-p)^x \right] \\ &= -p\frac{d}{dp}\sum\limits_{x=1}^{\infty}\left[x(1-p)^x \right] \\ &= -p\frac{d}{dp}\sum\limits_{x=1}^{\infty}\left[x(1-p)^{x}(1-p)^{-1}(1-p)^{1}p^{1}p^{-1} \right] \\ &= -p\frac{d}{dp}\sum\limits_{x=1}^{\infty}\left[x(1-p)^{x-1}p(1-p)p^{-1} \right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [(1-p)p^{-1} \sum\limits_{x=1}^{\infty}\left[x(1-p)^{x-1}p \right]\right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{p} \sum\limits_{x=1}^{\infty}E[X]\right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{p} \cdot \frac{1}{p}\right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{p^2}\right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [(1-p)p^-2\right] \\ &= -p \left (-p^{-2}-2(1-p)p^{-3}\right) \\ &= -p \left (\frac{-2(1-p)-p}{p^3}\right) \\ &= \frac{2(1-p)+p}{p^2} \\ &= \frac{2-p}{p^2} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \int x^2(1-p)^{x-1}dp &= x^2 \int (1-p)^{x-1}dp \\ &= x^2 \int u^{x-1} -du \\ &= -x^2 \int u^{x-1} du \\ &= -x^2 \cdot \frac{u^x}{x} + C \\ &= -x \cdot u^x + C \\ &= -x(1-p)^x + C \end{aligned}

\begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] -(E[X])^2 \\ &= \frac{2-p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 \\ &= \frac{2-p}{p^2} - \frac{1}{p^2} \\ &= \frac{2-p}{p^2} - \frac{1}{p^2} \\ &= \frac{1-p}{p^2} \; \blacksquare \end{aligned}

미국에 서식 중인 응용 수학과 대학원생, 아직은 잉여지만 그래도 행복 :)