Lemma 1.26(아르키메데스의 원리) 증명

이번 포스팅에서는 아르키메데스의 원리에 대해서 증명 하겠습니다.

주

이 포스팅에서 말하는 아르키메데스의 원리는 물리학에서의 그것이 아닌 해석학에서의 원리입니다.

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아르키메데스의 원리는 다음과 같습니다.

Theorem 9 (The Archimedean principle).

If $a >0$ and $b > 0$, then for some positive integer $n$, we have $na > b$.

In particular, $\forall \epsilon > 0, \;\; \exist n \in \mathbb{N} \;\; \text{s.t.} \;\; \frac{1}{n} < \epsilon$

증명 1

귀류법을 사용하기 위해 원명제를 부정 하겠습니다. 부정된 명제는 다음과 같습니다.

There exists $a > 0$ and $b > 0$ such that $na \leq b$ for all $n \in \mathbb{N}$.

우리가 집합 $\mathbb{S}=\{na : n \in \mathbb{N} \}$로 잡는다면 $b$는 집합 $\mathbb{S}$의 상계가 됨을 의미 합니다.

그런데 $\mathbb{S}$는 $\mathbb{R}$의 부분집합이므로 완비성 공리에 의해 $\mathbb{S}$의 상한을 다음과 같이 잡을 수 있습니다. $s_0 = \text{sup}(\mathbb{S})$.

그러면 $a >0$ 이므로 다음과 같습니다.

그런데 $s_0$가 상한 이므로 $s_0 - a$는 상한의 해석적 정리에 의해 $\mathbb{S}$의 상계가 아니고 그러므로 $s_0 - a \leq n_0a$ for some $n_0 \in \mathbb{N}$ 이 됨을 알 수 있습니다.

그런데

$s_0 - a \leq n_0a$
$s_0 \leq n_0a + a$
$s_0 \leq (n_0 + 1)a$

이므로 $s_0$는 더 이상 $\mathbb{S}$의 상한이 아니게 되고 이것은 모순입니다.

결론적으로 귀류법을 통해 모순을 이끌어 내었으므로 원명제인 아르키메데스의 원리는 참임을 증명 했습니다. $\blacksquare$

증명 2

아르키메데서의 particular 부분에 대해서 증명을 해 보겠습니다.

귀류법을 사용 하기 위해 $\forall \epsilon > 0, \;\; \exist n \in \mathbb{N} \;\; \text{s.t.} \;\; \frac{1}{n} < \epsilon$를 부정하면 다음과 같습니다.

$\exist \epsilon > 0$, $\forall n \in \mathbb{N}$, $\frac{1}{n} \geq \epsilon$

위 내용을 참으로 가정하면

$\frac{1}{n} \geq \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} \geq n$ 이 됩니다.

그리고 이 것은 $\frac{1}{n}$이 자연수 집합의 상계임을 의미합니다.

그런데 이것은 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 위로 유계가 아니다.라는 공리의 내용을 위반 하므로 모순입니다.

결론적으로 귀류법을 통해 모순을 이끌어 내었으므로 원명제인 아르키메데스의 원리는 참입니다. $\blacksquare$

참고문헌

• Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)