Example 1.25.(상한과 관련된) 증명

이번 포스팅에서는 상한과 관련된 간단한 증명을 해 보겠습니다.

문제

Let $A = \{x \in \mathbb{R} : x < 0 \}$. Then $\text{sup}(A) = 0$ 임을 증명 하시오.

증명

상한의 해석적 정리를 사용 해서 증명 하겠습니다.

먼저 집합 $A$의 조건이 $x < 0$이므로 $0$이 $A$의 상계임은 자명합니다. 그리고 이것은 상한의 해석적 정리의 조건 (i)을 만족합니다.

다음으로 상한의 해석적 정리의 조건 (ii)에 대해서 만족함을 보이겠습니다.

$\epsilon >0$을 하나 잡겠습니다. 그리하면 우리는 $x > 0 - \epsilon$을 만족하는 어떤 $x$가 $A$에 존재 하는지 보여야 합니다.

그러한 $x$가 $-\epsilon/2$ 라고 해 보겠습니다.

그리하면 $\epsilon > 0$라는 사실로 부터 다음과 같이 유도 됩니다.

게다가, $\epsilon > 0$ 이라는 사실은 $-\epsilon < 0$을 함의 합니다.
그러므로 $-\epsilon/2 < 0$인데 이것은 $-\epsilon/2 \in A$ 입니다.

결론적으로 $x = -\epsilon/2$라 놓으면 조건 (ii)의

there is some $x \in A$ for which $x > 0 - \epsilon$ 을 만족합니다.

우리는 상한의 해석적 정리의 (i)과 (ii)를 만족함을 보였습니다. $\blacksquare$

참고문헌

• Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)