Theorem 1.24(상한에 대한 해석적 정리) 증명

이번 포스팅에서는 상한에 대한 해석적 정리에 대해서 증명 해 보겠습니다.

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• $\alpha$가 집합 $A$의 최소 상계라고 할 때 만약 $\alpha$에서 다음과 같이 임의의 양수를 뺀다면 ($\alpha - \epsilon$) 이것은 더 이상 상계가 아니게 됩니다.

• $\alpha - \epsilon$이 더 이상 상계가 아니라는 의미는 집합 $A$에 $\alpha - \epsilon$ 보다 더 큰 어떤 원소 $x$가 존재 함을 의미합니다.

• 위의 사실은 어떤 원소에서 임의의 양수를 뺏음에도 그 원소가 여전히 상계라면 그 원소는 최소 상계가 아니라는 것을 알려 줍니다.

• 비슷한 논리로 $\beta$가 집합 $B$의 최대 하계라고 할 때 만약 $\beta$에서 다음과 같이 임의의 양수를 더하면 ($\beta + \epsilon$) 이것은 더 이상 하계가 아니게 됩니다.

• ($\beta + \epsilon$) 더 이상 하계가 아니라는 의미는 집합 $B$에 ($\beta + \epsilon$)보다 더 작은 어떤 원소 $y$가 존재함을 의미 합니다.

• 위의 사실은 어떤 원소에서 임의의 양수를 더했음에도 그 원소가 여전히 하계라면 그 원소는 최대하계가 아니라는 것을 알려 줍니다.

상한에 대한 해석적 정리는 다음과 같습니다.

Theorem 1.24 (Supremums analytically).

Let $A \subseteq \mathbb{R}$. Then $\text{sup}(A)=\alpha$ if and only if

(i) $\alpha$ is an upper bound of $A$, and

(ii) Given any $\epsilon > 0$, $\alpha - \epsilon$ is not an upper bound of $A$. That is, there is some $x \in A$ for which $x > \alpha - \epsilon$.

Likewise, $\text{inf}(A) = \beta$ if and only if

(i) $\beta$ is a lower bound of $A$, and

(ii) Given any $\epsilon > 0$, $\beta + \epsilon$ is not a lower bound of $A$. That is, there is some $x \in A$ for which $x < \beta + \epsilon$.

증명

먼저 정방향에 대해서 증명 하겠습니다. $\Rightarrow$

$\text{sup}(A)=\alpha$라고 가정 하겠습니다.

$\alpha$가 $A$의 상한이므로 $\alpha$가 $A$의 상계임은 자명합니다.

다음으로 $\epsilon > 0$을 잡겠습니다.

그리하면 $\alpha - \epsilon < \alpha$이고 이것은 $\alpha - \epsilon$이 더 이상 상계가 아니라는 것을 의미합니다. 만약에 $\alpha - \epsilon$이 여전히 상계라면 이것은 $\alpha$가 상한이라는 것과 모순 되므로 이 부분은 자명합니다.

$\alpha - \epsilon$이 상계가 아니라면 $\alpha - \epsilon$보다 더 큰 어떤 $x$가 집합 $A$에 존재 한다는 것을 의미 합니다.

다음으로 역방향에 대해서 증명 하겠습니다. $\Leftarrow$

해석적 정리의

(i) $\alpha$ is an upper bound of $A$, and

(ii) Given any $\epsilon > 0$, $\alpha - \epsilon$ is not an upper bound of $A$. That is, there is some $x \in A$ for which $x > \alpha - \epsilon$.

를 참이라고 가정 하겠습니다.

임의의 상계 $\alpha'$을 하나를 잡겠습니다. 그리고 $\alpha \leq \alpha'$라고 하겠습니다. $(1)$

여기서 귀류법을 사용 하기 위해 $(1)$을 부정하겠습니다. 그리하여 집합 $A$의 임의의 상계 $\alpha'$ $\wedge$ $\alpha > \alpha'$라고 가정 하겠습니다.

그리하면 $\alpha > \alpha'$로 부터 $\alpha - \alpha' > 0$가 유도 됩니다.

$\alpha - \alpha' > 0$은 양수 이므로 이것을 $\epsilon = \alpha - \alpha' > 0$라 두면

이것을 조건 (ii)에 적용 해 보면

There exists some $x \in A$ such that $x > \alpha - \epsilon = \alpha - (\alpha - \beta) = \beta$ 과 같이 됩니다. 이것은 $\alpha'$가 $A$의 상계가 아니라는 의미 인데 우리가 가정한 $\alpha'$이 $A$의 상계라는 사실에 모순 됩니다.

우리는 양방향에 대해서 참임을 보였으므로 Theorem 1.24가 참임을 보였습니다. $\blacksquare$

참고문헌

• Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)