Prop. 1.22(상한의 유일성) 증명

이번 포스팅에서는 상한의 유일성에 대해서 두 가지 방법으로 증명 해 보겠습니다.

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상한의 유일성에 대한 proposition은 다음과 같습니다.

• P. 24 Prop. 1.22 (Supremums are unique). If the supremum or infimum of $A \subseteq \mathbb{R}$ exists, then it is unique.

증명에 귀류법을 사용하기 위해 Prop. 1.22를 부정하겠습니다. 그리하면 다음과 같습니다.

• the supremum or infimum of $A \subseteq \mathbb{R}$ exists $\wedge$ it is not unique

증명1

$\alpha$와 $\beta$를 서로 다른 $A$의 최소 상계 라고 가정 하겠습니다.

그리하면 $\alpha$와 $\beta$는 상계입니다.

한편 $\alpha$는 최소 상계이고 $\beta$는 상계입니다. 이것은 $\alpha \leq \beta$를 함의 합니다.

반면에 $\beta$는 최소 상계이고 $\alpha$는 상계입니다. 이것은 $\beta \leq \alpha$를 함의 합니다.

그리하면 우리는 $\alpha \leq \beta$ 와 $\beta \leq \alpha$을 가지게 되는데

이것은 $\alpha = \beta$를 함의합니다.

이 결과는 가정에 모순 되므로 원명제인 Prop. 1.22는 참입니다. $\blacksquare$

참고. 하한의 유일성도 비슷한 방법으로 보일 수 있습니다.

증명2

$\alpha$와 $\beta$를 서로 다른 $A$의 최소 상계 라고 가정 하겠습니다.

그리하면 $\alpha$와 $\beta$는 상계입니다.

$\mathbb{R}$은 순서체이기 때문에 $\alpha$와 $\beta$의 순서관계는 반드시 $\alpha < \beta$ 또는 $\beta < \alpha$ 둘 중의 하나의 조건을 만족 해야 합니다.

WLOG, $\alpha < \beta$라고 가정 하겠습니다.

그런데 이것은 $\beta$는 최소 상계이고 $\alpha$는 상계라는 사실에 모순입니다.
($\beta$는 최소 상계이고 $\alpha$는 상계입니다. 이것은 $\beta \leq \alpha$) $\blacksquare$

참고문헌

• Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)