기하 분포의 평균 유도

Matt Lee·2020년 7월 21일
기하 분포유도통계학평균
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기하분포의 평균인 1p\frac{1}{p}p1​를 유도 해 보겠습니다.
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유도

기초 확률론

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기하분포의 평균인 1p\frac{1}{p}를 유도 해 보겠습니다.

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∫x(1−p)x−1dp=−∫xux−1du=−x∫ux−1du=−xuxx+C=−(1−p)x+C\begin{aligned} \int x(1-p)^{x-1}dp &= -\int xu^{x-1}du \\ &=-x\int u^{x-1}du \\ &=-x\frac{u^x}{x} + C \\ &=-(1-p)^x + C \end{aligned}

유도

E[X]=∑xxPX(x)=∑xx(1−p)x−1p=p∑x=1∞x(1−p)x−1=p∑x=1∞−ddp(1−p)x=−pddp∑x=1∞(1−p)x=−pddp[(1−p)1+(1−p)2+…+(1−p)n+…]=−pddp[lim⁡n→∞(1−p)n]=−pddp[1−p1−(1−p)]=−pddp[1−pp]=−p[−p−(1−p)p2]=p+1−pp=1p        ■\begin{aligned} E[X] &= \sum\limits_{x}xP_X(x) \\ &= \sum\limits_{x}x(1-p)^{x-1}p \\ &= p\sum\limits_{x=1}^{\infty} x(1-p)^{x-1} \\ &= p\sum\limits_{x=1}^{\infty} -\frac{d}{dp}(1-p)^x \\ &= -p\frac{d}{dp}\sum\limits_{x=1}^{\infty} (1-p)^x \\ &= -p\frac{d}{dp}[(1-p)^1 + (1-p)^2 + \ldots +(1-p)^n + \ldots] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\lim_{n \to \infty} (1-p)^n \right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{1-(1-p)} \right] \\ &= -p\frac{d}{dp} \left [\frac{1-p}{p} \right] \\ &= -p \left [\frac{-p-(1-p)}{p^2} \right] \\ &= \frac{p+1-p}{p} \\ &= \frac{1}{p} \;\;\;\; \blacksquare \end{aligned}
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Matt Lee
미국에 서식 중인 응용 수학과 대학원생, 아직은 잉여지만 그래도 행복 :)
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