레이더 알람에 대한 조건부 확률 문제

이번 포스팅에서는 레이더 알람에 대한 조건부 확률 문제에 대해서 풀어 보겠습니다.

문제:

• 군부대에서 레이더 탐지기를 가지고 있습니다. 이 레이더 탐지기의 탐지 지역을 X라고 하겠습니다. X범위안에 비행기가 나타나면 99퍼센트의 확률로 알람을 발생시킵니다. 하지만 10퍼센트의 확률로 X범위에 비행기가 없어도 알람을 발생시킵니다. X범위 안에 비행기가 출현하는 확률은 0.05퍼센트로 알려져 있습니다.

• 상황이 위와 같을 때 비행기가 출현하고 알람이 울리지 않을 확률은 얼마인가요?

문제 풀이

1. 먼저 문제에서 주어진 정보를 바탕으로 각각의 사건에 대해서 정의 하겠습니다.

• $A = \{X \; \text{지역에 비행기 출현} \}$
• $A'=\{X \; \text{지역에 비행기 출현 안함} \}$
• $B = \{ \text{레이더에 의한 알람 발생} \}$
• $B'= \{ \text{레이더에 의한 알람 발생 안함} \}$

2. 정의 된 사건을 바탕으로 문제에서 주어진 내용을 이용한 Conditioning

"$X$ 범위안에 비행기가 나타나면 99퍼센트의 확률로 알람을 발생시킵니다." 에 대한 Conditioning 다음과 같습니다.

$P(B|A)=0.99$

"$10\%$ 확률로 $X$ 범위에 비행기가 없어도 알람을 발생시킵니다."에 대한 Conditioning은 다음과 같습니다.

$P(B|A')=0.10$

"$X$ 범위 안에 비행기가 출현하는 확률은 $0.05\%$로 알려져 있습니다."에 대한 Conditioning은 다음과 같습니다.

$P(A)=0.05$

3. 설정 된 조건부 확률에 의해 자명하게 설정 되는 여사건들의 확률을 정의하겠습니다.

$P(B'|A)=0.01$

$P(B'|A')=0.90$

$P(A')=0.95$

4. 우리가 계산 해야 될 목표 확률에 대해서 정의 하겠습니다.

우리가 계산 해야 될 목표 확률은 문제에서 다음과 같이 주어져 있습니다.

"비행기가 출현하고 알람이 발생할 확률은?"

• 위의 내용에 대한 확률 정의는 다음과 같습니다.

$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A)$

5. 마지막으로 목표 확률 값을 계산 하겠습니다.

$\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A) \\ &= 0.05 \times 0.99 \\ &= 0.4455 \\ &= 44.55 \% \end{aligned}$

즉, 위의 계산 결과로 부터 우리는 "비행기가 출현하고 알람이 발생할 확률은?" $44.55\%$ 임을 확인 할 수 있습니다.