이번 포스팅에서는 토너먼트 진출에 대한 확률 문제에 대해서 풀어 보겠습니다.
문제:
-
나는 현재 포커 토너먼트에 진출 해 있습니다. 다음 단계로 진출 하기 위해 서는 이미 정해진 상대 p1, p2, p3와 연속으로 반드시 게임을 해야 합니다. 나는 두 명에게 연속으로 승리하면 다음 토너먼트로 진출 할 수 있습니다.
-
즉, 예를 들어 처음 상대에게 지고 그 다음 상대에게 이기고 그 다음 상대에게 이기면 다음 단계에 진출 합니다.
-
하지만 처음에 이기고 그 다음에 지고 마지막에 이겨도 다음 단계에 진출 할 수 없습니다.
-
위의 조건이외에 추가로 주어진 정보는 다음과 같습니다.
- 개별 게임은 전부 독립사건으로 가정합니다.
- 나는 상대와의 승률 데이터를 가지고 있는데 나는 p1을 상대로 가장 높은 승률을 보이고 p2 를 상대로 중간 p3를 상대로 가장 낮은 승률을 보이고 있습니다.
- 포커 게임을 할 상대와의 매치 순서는 내가 임의로 정 할 수 있습니다.
자 이제 문제 입니다. 위의 조건에서 내가 2연승을 하고 다음단계로 진출 하기 위해 p1, p2, p3와의 매치 순서를 어떻게 배열 하는게 토너먼트의 다음 단계로 진출 하기 위해 가장 높은 승률을 보장 받을 까요?
문제 풀이
1. 제일 먼저 표본 공간에 대해서 정의 해 보겠습니다. 경기를 3번 연이어 치르는 매치에 대한 표본 공간은 다음과 같습니다.
Ω={LLL,LLWLWL,WLL,LWW,WLW,WWL,WWW}
여기서 W는 승리 L은 패배를 의미 합니다.
2. 2연승을 하면 그 단계의 토너먼트에서 승리하고 다음단계로 진출 하기 때문에 토너먼트에 승리하고 다음 단계로 진출 하는 사건은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.
T={토너먼트에 승리하는 사건}={WWL,LWW,WWW}
3. 일단 두 번째 매치 상대만 정했을 경우 첫 번째와 세 번째 매치 상대가 올 수 있는 경우의 수는 2가지 입니다. 우선적으로 p2를 두 번째 매치 상대로 정했을 때의 2가지에 대한 확률을 각각 case로 나눠서 계산 해 보겠습니다.
- Case1: 매치 순서 p1p2p3 에 따른 확률
P(LWW,WWL,WWW)=(1−p1)p2p3+p1p2(1−p3)+p1p2p3=p2p3−p1p2p3+p1p2−p1p2p3+p1p2p3=p1p2+p2p3−p1p2p3
- Case2: 매치 순서 p3p2p1 에 따른 확률
P(LWW,WWL,WWW)=(1−p3)p2p1+p3p2(1−p1)+p3p2p1=(1−p1)p2p3+p1p2(1−p3)+p1p2p3
Case1과 Case2에서 계산 된 각각의 결과를 비교해 보면 확률 값이 같음을 알 수 있는데요. 즉, 우리는 WLOG에 의해 p1과 p3를 두 번째 상대로 배치 하는 경우에도 각각의 p1과 p3에 대한 Case에 대한 확률도 서로 같음을 알 수 있습니다.
4. 3번에서 획득한 정보를 바탕으로 각각의 경우에 대해 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률에 대해서 계산 해 보겠습니다.
- p1과 두 번째 에서 매치 하는 경우에 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률
Pr(T∣secondmatchwithp1)=Pr(LWW,WWL,WWW)=Pr(LWW)+Pr(WWL)+Pr(WWW)=(1−p2)p1p3+p2p1(1−p3)+p1p2p3=p1p3−p1p2p3+p1p2−p1p2p3+p1p2p3=p1p2+p1p3−p1p2p3−(1)
- p2와 두 번째 에서 매치 하는 경우에 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률
Pr(T∣secondmatchwithp2)=Pr(LWW,WWL,WWW)=Pr(LWW)+Pr(WWL)+Pr(WWW)=(1−p1)p2p3+p1p2(1−p3)+p1p2p3=p2p3−p1p2p3+p1p2−p1p2p3+p1p2p3=p1p2+p2p3−p1p2p3−(2)
- p3와 두 번째 에서 매치 하는 경우에 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률
Pr(T∣secondmatchwithp3)=Pr(LWW,WWL,WWW)=Pr(LWW)+Pr(WWL)+Pr(WWW)=(1−p1)p3p2+p1p3(1−p2)+p1p2p3=p2p3−p1p2p3+p1p3−p1p2p3+p1p2p3=p1p3+p2p3−p1p2p3−(3)
위의 세 가지 확률의 계산 결과를 바탕으로 부등식을 정의 해 보겠습니다.
- p1>p2 이면 p1p3>p2p3 이므로 (1)>(2)
- p2>p3 이면 p1p2>p1p3 이므로 (2)>(3) 임을 알 수 있습니다.
그러므로 (1)>(2)>(3) 임을 알 수 있습니다. 즉, (1)번의 경우(가장 최약체인 p1을 두 번째 매치 순서로 집어 넣는 경우)가 2연승을 하고 토너먼트의 다음 단계로 진출 하는 가장 높은 확률을 보장합니다.
사실 이번 확률 문제는 직관적으로 보면 그 결과가 당연해 보이는 문제입니다. 하지만 그 당연해 보이는 결과도 누구나 동의 할 수 있도록 수식을 통해서 입증해 보이는 것도 수학의 한 묘미 입니다.