토너먼트 진출에 대한 확률 문제

Matt Lee·2020년 7월 20일
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기초 확률론

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이번 포스팅에서는 토너먼트 진출에 대한 확률 문제에 대해서 풀어 보겠습니다.

문제:

  • 나는 현재 포커 토너먼트에 진출 해 있습니다. 다음 단계로 진출 하기 위해 서는 이미 정해진 상대 p1p_{1}, p2p_{2}, p3p_{3}와 연속으로 반드시 게임을 해야 합니다. 나는 두 명에게 연속으로 승리하면 다음 토너먼트로 진출 할 수 있습니다.

  • 즉, 예를 들어 처음 상대에게 지고 그 다음 상대에게 이기고 그 다음 상대에게 이기면 다음 단계에 진출 합니다.

  • 하지만 처음에 이기고 그 다음에 지고 마지막에 이겨도 다음 단계에 진출 할 수 없습니다.

  • 위의 조건이외에 추가로 주어진 정보는 다음과 같습니다.

    • 개별 게임은 전부 독립사건으로 가정합니다.
    • 나는 상대와의 승률 데이터를 가지고 있는데 나는 p1p_{1}을 상대로 가장 높은 승률을 보이고 p2p_{2} 를 상대로 중간 p3p_{3}를 상대로 가장 낮은 승률을 보이고 있습니다.
    • 포커 게임을 할 상대와의 매치 순서는 내가 임의로 정 할 수 있습니다.

자 이제 문제 입니다. 위의 조건에서 내가 2연승을 하고 다음단계로 진출 하기 위해 p1p_{1}, p2p_{2}, p3p_{3}와의 매치 순서를 어떻게 배열 하는게 토너먼트의 다음 단계로 진출 하기 위해 가장 높은 승률을 보장 받을 까요?

문제 풀이

1. 제일 먼저 표본 공간에 대해서 정의 해 보겠습니다. 경기를 3번 연이어 치르는 매치에 대한 표본 공간은 다음과 같습니다.

Ω={LLL,LLWLWL,WLL,LWW,WLW,WWL,WWW}\Omega = \{LLL, LLW LWL, WLL, LWW, WLW, WWL, WWW\}

여기서 WW는 승리 LL은 패배를 의미 합니다.

2. 2연승을 하면 그 단계의 토너먼트에서 승리하고 다음단계로 진출 하기 때문에 토너먼트에 승리하고 다음 단계로 진출 하는 사건은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

T={토너먼트에 승리하는 사건}={WWL,LWW,WWW}T = \{\text{토너먼트에 승리하는 사건}\} = \{WWL, LWW, WWW\}

3. 일단 두 번째 매치 상대만 정했을 경우 첫 번째와 세 번째 매치 상대가 올 수 있는 경우의 수는 2가지 입니다. 우선적으로 p2p_2를 두 번째 매치 상대로 정했을 때의 2가지에 대한 확률을 각각 case로 나눠서 계산 해 보겠습니다.

  • Case1: 매치 순서 p1p2p3p_1p_2p_3 에 따른 확률
P(LWW,WWL,WWW)=(1p1)p2p3+p1p2(1p3)+p1p2p3=p2p3p1p2p3+p1p2p1p2p3+p1p2p3=p1p2+p2p3p1p2p3\begin{aligned} P({LWW,WWL,WWW}) &= (1-p_{1})p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}(1-p_{3}) + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{2}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{1}p_{2} + p_{2}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} \end{aligned}
  • Case2: 매치 순서 p3p2p1p_3p_2p_1 에 따른 확률
P(LWW,WWL,WWW)=(1p3)p2p1+p3p2(1p1)+p3p2p1=(1p1)p2p3+p1p2(1p3)+p1p2p3\begin{aligned} P({LWW,WWL,WWW}) &= (1-p_{3})p_{2}p_{1} + p_{3}p_{2}(1-p_{1}) + p_{3}p_{2}p_{1} \\ &= (1-p_{1})p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}(1-p_{3}) + p_{1}p_{2}p_{3} \\ \end{aligned}

Case1과 Case2에서 계산 된 각각의 결과를 비교해 보면 확률 값이 같음을 알 수 있는데요. 즉, 우리는 WLOG에 의해 p1p_{1}p3p_{3}를 두 번째 상대로 배치 하는 경우에도 각각의 p1p_{1}p3p_{3}에 대한 Case에 대한 확률도 서로 같음을 알 수 있습니다.

4. 3번에서 획득한 정보를 바탕으로 각각의 경우에 대해 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률에 대해서 계산 해 보겠습니다.

  • p1p_{1}과 두 번째 에서 매치 하는 경우에 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률
Pr(Tsecond  match  with  p1)=Pr(LWW,WWL,WWW)=Pr(LWW)+Pr(WWL)+Pr(WWW)=(1p2)p1p3+p2p1(1p3)+p1p2p3=p1p3p1p2p3+p1p2p1p2p3+p1p2p3=p1p2+p1p3p1p2p3      (1)\begin{aligned} Pr(T|second\; match\; with\; p_{1}) &= Pr({LWW,WWL,WWW}) \\ &= Pr({LWW}) + Pr({WWL}) + Pr({WWW}) \\ &= (1-p_{2})p_{1}p_{3} + p_{2}p_{1}(1-p_{3}) + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{1}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{1}p_{2} + p_{1}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} \;\;\; - (1) \end{aligned}
  • p2p_{2}와 두 번째 에서 매치 하는 경우에 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률
Pr(Tsecond  match  with  p2)=Pr(LWW,WWL,WWW)=Pr(LWW)+Pr(WWL)+Pr(WWW)=(1p1)p2p3+p1p2(1p3)+p1p2p3=p2p3p1p2p3+p1p2p1p2p3+p1p2p3=p1p2+p2p3p1p2p3      (2)\begin{aligned} Pr(T|second\; match\; with\; p_{2}) &= Pr({LWW,WWL,WWW}) \\ &= Pr({LWW}) + Pr({WWL}) + Pr({WWW}) \\ &= (1-p_{1})p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}(1-p_{3}) + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{2}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}p_{3}\\ &= p_{1}p_{2} + p_{2}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} \;\;\; - (2) \end{aligned}
  • p3p_{3}와 두 번째 에서 매치 하는 경우에 2연승을 하고 다음 단계로 진출 하는 확률
Pr(Tsecond  match  with  p3)=Pr(LWW,WWL,WWW)=Pr(LWW)+Pr(WWL)+Pr(WWW)=(1p1)p3p2+p1p3(1p2)+p1p2p3=p2p3p1p2p3+p1p3p1p2p3+p1p2p3=p1p3+p2p3p1p2p3      (3)\begin{aligned} Pr(T|second\; match\; with\; p_{3}) &= Pr({LWW,WWL,WWW}) \\ &= Pr({LWW}) + Pr({WWL}) + Pr({WWW}) \\ &= (1-p_{1})p_{3}p_{2} + p_{1}p_{3}(1-p_{2}) + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{2}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} + p_{1}p_{2}p_{3} \\ &= p_{1}p_{3} + p_{2}p_{3} - p_{1}p_{2}p_{3} \;\;\; - (3) \end{aligned}

위의 세 가지 확률의 계산 결과를 바탕으로 부등식을 정의 해 보겠습니다.

  • p1>p2p_{1} > p_{2} 이면 p1p3>p2p3p_{1}p_{3} > p_{2}p_{3} 이므로 (1)>(2)(1) > (2)
  • p2>p3p_{2} > p_{3} 이면 p1p2>p1p3p_{1}p_{2} > p_{1}p_{3} 이므로 (2)>(3)(2) > (3) 임을 알 수 있습니다.

그러므로 (1)>(2)>(3)(1) > (2) > (3) 임을 알 수 있습니다. 즉, (1)(1)번의 경우(가장 최약체인 p1p_1을 두 번째 매치 순서로 집어 넣는 경우)가 2연승을 하고 토너먼트의 다음 단계로 진출 하는 가장 높은 확률을 보장합니다.

사실 이번 확률 문제는 직관적으로 보면 그 결과가 당연해 보이는 문제입니다. 하지만 그 당연해 보이는 결과도 누구나 동의 할 수 있도록 수식을 통해서 입증해 보이는 것도 수학의 한 묘미 입니다.

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미국에 서식 중인 응용 수학과 대학원생, 아직은 잉여지만 그래도 행복 :)

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