기하 분포에 대한 확률 문제 with R

이번 포스팅에서는 기하 분포에 대한 확률 문제를 풀어 보겠습니다.

문제

나와 내 친구는 번갈아 가면서 공정한 정육면체 주사위(모든 면이 나오는 확률은 공정하게 $\frac{1}{6}$)를 던져 먼저 6이 나오는 사람이 승리하는 게임을 하기로 했다. 내가 먼저 주사위를 던져 게임을 시작 하기로 했을 때 나와 친구 중 누가 더 게임에 승리할 확률이 높은지 계산 하시오.

문제 풀이

이 문제는 전형적인 기하 분포 문제입니다. 기하 분포의 자세한 정의는 위키피디아 링크를 확인 해 주세요.

기하 분포에 대해서 간단하게 풀어서 설명을 해 보면 첫 번째 성공 할 때 까지의 베르누이 시행의 시퀀스입니다. 베르누이 시행에서 각각의 시행은 독립임을 가정 하므로 기하 분포에서의 각각의 시행은 독립입니다.

그러면 이 것을 저희의 문제에 대입해서 해석해 보겠습니다.

먼저 나와 친구에 대한 목표 사건인 승리 하는 사건에 대해서 정의 하겠습니다.

내가 게임에서 승리 =

$\{$첫 번째 시행에서 주사위가 6이 나오는 경우, 세 번째 시행에서 주사위가 6이 나오는 경우, 다섯 번째 시행에서 주사위가 6이 나오는 경우, $...$ $\}$

친구가 게임에서 승리 =

$\{$두 번째 시행에서 주사위가 6이 나오는 경우, 네 번째 시행에서 주사위가 6이 나오는 경우, 여섯 번째 시행에서 주사위가 6이 나오는 경우, $...$ $\}$

여기서 $...$ 계속 해서 사건이 무한 번 발생 함음 의미 합니다.

사실 위의 내용을 보면 내가 게임에서 승리 하는 사건은 홀수 번째에 주사위가 6이 나오는 경우이고 친구가 게임에서 승리 하는 사건은 짝수 번째에 주사위가 6이 나오는 경우 이므로 친구가 게임에서 승리 하는 사건은 내가 게임에서 승리 사건에 대한 여사건이라고 볼 수 있습니다.

또한 확률 공리에 의해 내가 게임에서 승리 하는 사건에 대한 확률과 친구가 게임에서 승리 하는 사건에 대한 확률을 더하면 그 합은 1임을 미리 짐작 할 수 있습니다.

다음으로 기하 분포의 정의를 이용하여 승리 하는 사건에 대한 확률을 정의 하겠습니다.

먼저 $x$번째 시행에서의 첫 번째 성공에 대한 기하 분포의 확률 질량 함수의 정의는 다음과 같습니다.

$P(X=x)=q^{x-1}p; x=1,2,3,...\; \text{where}\;\;q=1-p$

위의 확률 질량 함수의 정의에 따라 내가 게임에서 승리 하는 확률은 다음과 같습니다.

$P(\text{내가 게임에서 승리}) = \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^{2}\frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^{4}\frac{1}{6}+\cdots$

위의 확률식은 초항이 $\frac{1}{6}$이고 공비가 $(\frac{5}{6})^{2}$ 무한 등비 급수이므로 다음과 같이 간단하게 정리 됩니다.

$P(\text{내가 게임에서 승리}) = \frac{1}{6}(\frac{1}{1-(\frac{5}{6})^2})=\frac{6}{11}$

즉, 내가 게임에서 승리 하는 확률은 $\frac{6}{11}$입니다.

다음으로 친구가 게임에서 승리하는 확률에 대해서 계산 하겠습니다.

친구가 게임에서 승리하는 사건은 내가 게임에서 승리하는 사건의 여사건이므로 다음과 같이 간단하게 계산 됩니다.

즉, 친구가 게임에서 승리 하는 확률은 $\frac{5}{11}$이므로 내가 게임에서 승리 하는 확률이 더 높음을 확인 할 수 있습니다.

확률 질량 함수 그래프

문제에 대해서 50번 시행에 대한 확률 질량 함수 그래프를 그리기 위한 R 코드와 그래프는 각각 다음과 같습니다.

x <- 0:49
plot(x+1, dgeom(x, 1/6),
     xlab = "X = 시행 횟수", ylab = "P(X=x)",
     type = "h", main = "첫 번째 6이 나올 때 까지, p = 1/6",
     font.main = 1)

누적 분포 함수 그래프

문제에 대해서 50번 시행에 대한 누적 분포 함수 그래프를 그리기 위한 그래프를 그리기 위한 R 코드와 그래프는 각각 다음과 같습니다.

x <- 0:49
plot(x+1, pgeom(x, 1/6),
     xlab = "X = 시행 횟수", ylab = "P(X<=x)",
     type = "s", main = "첫 번째 6이 나올 때 까지, p = 1/6",
     font.main = 1)