생일 문제

이번 포스팅에서는 생일 문제에 대해서 풀어 보겠습니다.

문제:

• $k(2≤k≤365)$명의 집단 중에서 최소한 두 명이 같은 생일을 갖게 될 확률을 구하시오. 단, 쌍둥이 및 윤년은 고려 하지 않으며 k명이 365일 중 어떤 생일을 갖게 될 확률은 동일 하다고 가정한다.

문제 풀이

1. 먼저 문제에서 우리가 구해야 할 목표 사건에 대해서 정의 하겠습니다.

목표 사건 $A$의 정의는 다음과 같습니다.

$A=\{K명의 \;집단 \;중에서 \;최소한 \;두 \;명이 \;같은 \;생일을 \;같는 \;사건\}$

위의 사건 $A$로 부터 우리는 A의 여사건을 정의 할 수 있습니다.

$A'=\{K명의\; 집단 \;중에서 \;K명 \;모두 \;생일이 \;다른 \;사건\}$

위의 A와 A의 여사건에 대한 정의로 부터 우리는 A의 확률을 다음과 같이 유도 할 수 있습니다.

$P(A)=1-P(A')$

2. 다음으로 표본공간에 대해서 정의 하겠습니다.

$\Omega=\{k명 \;각각이 \;생일을 \;가지는 \;사건\}$

3. 위에서 정의한 사건과 표본공간을 바탕으로 A의 확률을 계산 해 보겠습니다.

k명이 365일 중 어떤 생일을 갖게 될 확률은 동일 하다고 가정 했으므로 A의 확률 계산은 고전적 확률론의 방법으로 계산 할 수 있습니다.

먼저 A의 여사건의 확률은 다음과 같이 정의 됩니다.

$P(A')=\frac{|A'|}{|\Omega|}$

• $|A'|$ 부터 계산 해 보면 다음과 같습니다.

  $|A'|=P(365,k)$

• 다음으로 $|\Omega|$를 계산 해 보면 다음과 같습니다.

  $|\Omega|=365^k$

• 그러므로 $P(A)$는

$P(A)=1-\frac{P(365,k)}{365^k}$ 로 계산 됨을 확인 할 수 있습니다.

4. R을 통한 시뮬레이션

아래의 plot을 R을 통해서 시뮬레이션 해볼 결과입니다.

• plot을 보면 23명 째 부터 최소 두 명의 생일이 같을 확률이 50%를 넘는 것을 확인 해 볼 수 있습니다.

이 확률 계산의 결과는 왜 여러분들이 학교를 다니면서 한 반에 생일이 같은 둘 이상의 학생들을 자주 보아왔는지의 이유를 알려 줍니다.