전체 확률 법칙 증명 1

Matt Lee·2020년 8월 27일
전체 확률 법칙증명확률론
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기초 확률론

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이번 포스팅에서는 전체 확률 법칙에 대해서 증명 해 보겠습니다.

전체 확률 법칙(Law of total Probability) 정리는 다음과 같습니다.

Thm. Let {A1,A2,…,An}\{ A_1,A_2, \dots , A_n \} be partition Ω\Omega. Then, P(B)=∑i=1nP(B∣Ai)P(Ai)P(B) = \sum\limits_{\substack{i=1}}^n P(B|A_i)P(A_i)

증명

∑i=1nP(B∣Ai)P(Ai)=∑i=1nP(B∩Ai)P(Ai)P(Ai)    by the defn. of the conditional prob=∑i=1nP(B∩Ai)=P(⋃i=1n(B∩Ai))by the Axiom 2(additivity) since each  B∩Ai  is partitions each other=P(B)    ■\begin{aligned} \sum\limits_{\substack{i=1}}^n P(B|A_i)P(A_i) &= \sum\limits_{\substack{i=1}}^n \frac{P(B \cap A_i)}{P(A_i)} P(A_i) \;\; \text{by the defn. of the conditional prob} \\ &=\sum\limits_{\substack{i=1}}^n P(B \cap A_i) \\ &=P\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( B \cap A_i ) \right) \text{by the Axiom 2(additivity) since each} \; B \cap A_i \; \text{is partitions each other} \\ &=P(B) \;\;\blacksquare \end{aligned}
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Matt Lee
미국에 서식 중인 응용 수학과 대학원생, 아직은 잉여지만 그래도 행복 :)
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