[DSP] Sampling (Nyquist Sampling Theorem, LPF)

whateverpartysover·2025년 3월 8일

DSP

DSP 이론

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샘플링이란?

아날로그 신호를 일정한 간격으로 찍어서 디지털 신호로 변환하는 과정

→ 즉, 연속적인 신호를 이산적인 샘플들로 표현하는 과정

어떻게?

신호 f(t)에 Dirac Comb (a.k.a Train Impulse, sha function)를 곱해주면된다. 참고로 빗모양의 문자가 키릴문자 Sha 이다.

Ш _T⁡(t) :=∑_{k=−∞}^{∞}δ(t−kT)

내가 그리기 귀찮은 그래프 챗지피티가 잘그려준다… 인간시대의 종말 도래

샘플 함수 (Sampled Function)의 수식표현

\tilde f(t)=f(t)Ш_T⁡(t)=∑_{n=−∞}^{∞}f(t)δ(t−nΔT)

샘플 함수의 푸리에 변환

푸리에 변환의 기본 성질을 사용하여 $\tilde{f}(t)$ 의 푸리에 변환을 구한다.

\mathcal{F} \{ \tilde{f}(t) \} = \mathcal{F} \left\{ f(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n \Delta T) \right\}

푸리에 변환의 성질 중, 곱셈이 컨볼루션으로 변하는 성질을 이용하면:

\mathcal{F} \{ \tilde{f}(t) \} = \mathcal{F} \{ f(t) \} * \mathcal{F} \{ Ш_T (t) \}

Dirac Comb $Ш_T (t)$ 의 푸리에 변환은 또 다른 Dirac Comb 형태로 나타난다:

\mathcal{F} \{ Ш_T (t) \} = \frac{1}{\Delta T} Ш_{1/\Delta T} (f)

즉, 주파수 영역에서 샘플링 주파수 $f_s = 1/\Delta T$ 간격으로 반복되는 델타 함수 배열이 된다.

\mathcal{F} \{ Ш_T (t) \} = \frac{1}{\Delta T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - k f_s)

컨볼루션 연산을 수행하면:

\tilde{F}(f) = F(f) * \frac{1}{\Delta T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - k f_s)

즉, 원래 신호의 푸리에 변환 $F(f)$ 가 주파수 $f_s$ 간격으로 무한 반복되는 형태가 됨:

\tilde{F}(f) = \frac{1}{\Delta T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} F(f - k f_s)

다양한 샘플률을 가지고 샘플 함수들의 푸리에 변환을 함 봐보자.

샘플링 레이트 $1/\Delta T$ 가 충분히 크다면 문제가 없는데, 샘플링 레이트가 작아버리면 맨 아래처럼 주파수 도메인에서의 신호가 겹쳐버리고, 원래 신호를 복원해내기 어려워진다. 이렇게 겹치는 현상을 aliasing이라고 한다.

Nyquist Sampling Theorem

연속 신호를 디지털 신호로 변환할 때, 원래 신호를 정확히 복원하려면 샘플링 주파수 $f_s$ , 원 신호 주파수 $f_{max}$ 에 대해 다음 조건을 만족해야한다.

f_s≥2f_{max}

그냥 위의 그림을 보면서 생각해보면 당연하다.

암튼 위 식을 만족하는 $f_s$ 는 신호 복원이 가능한 샘플률이므로 이를 Nyquist Rate이라한다. 두배일때가 딱 맞닿은 형태의 샘플률이고 이는 Critical Nyquist Rate이라고 한다.

보통 샘플링 과정에서는 Critical Nyquist Rate 보다 높은 값으로 처리하는데, 뭐 완벽한 LPF(이후 설명)를 만들수도 없어서도 있고, 시스템 클럭오차 등의 이유도 있지만, 주기성이 완벽하게 겹쳐버리면 복원이 안되는 이유 때문인것도 있다.
요즘은 LPF 만드는거 어려우니까 쉽게 만드려고 오버샘플링을 빡 때린다고 한다.